第七章 空间解析几何.doc

第七章空间解析几何与向量代数内容概要名称主要内容( 7-1 , 7-2 , 7-3 ) 向量及线性运算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法 a?:当0??时,a?表示和 a 同向, aa???的向量; 当0??,a?表示和 a 反向, aa???的向量; 主要性质:( 1)a 单位化向量为 a a ,( 2)ba a//b ???向量的坐标),,( ),,,( 22221111zyxMzyxM 的距离: 212 212 212)()()(zzyyxx?????向量的代数运算 kjia zyxaaa???kjib zyxbbb??? kjiba)()()( zzyyxxbababa???????kjia zyxaaa???????向量a 的模、方向余弦: 222zyxaaa???a ,aaa z xxa ba?????? cos , cos , cos 向量a 在μ轴上的投影: μμaμaaa μ????), cos( Prj 数量积向量积混合积数量积定义及运算: zzyyxxbababa??????), cos( bababa 主要性质:(1)2aaa??;(2)0????baba ,(3)ba baba ???), cos( 向量积定义运算 ba?的模为), sin( ???bababa , 方向为 a 指向b 大拇指方向 zyx zyxbbb aaa kjiba??性质:( 1)ba?表示以 a 、b 为邻边的平行四边形面积; (2)bbaaba????, 混合积定义及运算: zyx zyx bbb aaa???cba)( 性质:( 1)bacacbcba????????)()()( (2)cba,, 共面的充要条件: 0)(???cba****题 7-1 ★★ : (1)要使baba???成立,向量 ba, 应满足 ba?(2)要使baba???成立,向量 ba, 应满足//ba ,且同向★???????3,2 ,试用 cba,, 表示向量 vu32?知识点:向量的线性运算解:cbacbacbavu7 11 539342232??????????★,P 两点的向径分别为 21,rr ,点R 在线段 PQ 上,且 n m RQ PR ?,证明点 R 的向径为 n m m n ??? r r r 1 2 知识点:向量的线性运算证明:在 OPQ ?中,根据三角形法则 PQ OP OQ ??,又)( 21rr?????nm m PQ nm m PR , ∴nm mnnm m PR OP OR????????? 22rrrrr 111)( ★★ ABCD 的对角线 ba AC ?? BD , ,试用向量 ba, 表示 DA CD BC AB ,,, 。知识点:向量的线性运算解:根据三角形法则, ba?????? BD AD , AB AC BC AB ,又 ABCD 为菱形, ∴ BC AD ?(自由向量), ∴2 2 2 AB AC BD AB CD DC AB ? ?? ??????????????????????????????????????? a b b a a b ∴2 ba??? BC AD ,2 DA ??????? a b ★★ ABC ?的 BC 边五等分,设分点依次为 4321,,,DDDD ,再把各分点与点 A 连接,试以 ac?? BC AB , 表示向量,, 321ADADAD 和AD 4 。知识点:向量的线性运算解:见图 7-1-5 , AB C 1D 2D 3D 4D ca 图 7-1-5 根据三角形法则, )5 1(5 1, 11111ac????????? AD AD BC BD AD BD AB 同理:)5 4( ),5 3( ),5 2 (( 432acacac?????????ADADAD****题 7-2 ★1在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? (2 , 2 , 3) A?;5),3,3(?B ;)4,2,3(??C ;2),3,4(??D 答: (2 , 2 , 3) A?在第四卦限, 5),3,3(?B 在第五卦限, )4,2,3(??C 在第八卦限, 2),3,4(??D 在第三卦限★?并指出下列各点的位置: A B C D ?(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0, 2,0) 知识点:空间直角坐标答:在各坐标面上点的坐标有一个分量为零,坐标轴上点的坐标有两个分量为零,