施密特正交化).doc

施密特正交化在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。这种正交化方法以JørgenPedersenGram与ErhardSchmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawadeposition)。在数值计算中,Gram-Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。记法:维数为n得内积空间:中得元素,可以就是向量、函数,等等:与得内积:、……张成得子空间:在上得投影基本思想图1v在V2上投影,构造V3上得正交基βGram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。设。Vk就是Vn上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在Vk上。由投影原理知,v与其在Vk上得投影之差就是正交于子空间Vk得,亦即β正交于Vk得正交基ηi。因此只要将β单位化,即那么{η1,、、、,ηk+1}就就是Vk在v上扩展得子空间span{v,η1,、、、,ηk}得标准正交基。根据上述分析,对于向量组{v1,、、、,vm}张成得空间Vn,只要从其中一个向量(不妨设为v1)所张成得一维子空间span{v1}开始(注意到{v1}就就是span{v1}得正交基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到Vn得一组正交基。这就就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要确定