数学公理化方法在研究数学中的重要作用.doc

数学公理化方法在研究数学中重要作用 1数学公理化方法概述 ,系统基本概念、基本关系用抽象符号表示,命题由符号组成公式表示,命题证明用一个公式串表达。一个符号化形式系统只有在解释之后才有意义。同时,作为一个符号化形式系统,可以用来提供简洁精确形式化语言;提供数量剖析及计算方法;提供逻辑推理工具。公理化方法具体形态有三种:实体性公理化方法、形式公理化方法与纯形式公理化方法,用它们建构起来理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》与ZFC公理系统。 。其结果只有经过证明才可信,而数学证明采用是逻辑推理方法,根据逻辑推理规则,每步推理都要有个大前提,我们不难想象到,最初那个大前提是不可能再由另外大前提导出,既是说,我们逆推过程总有个“尽头”,同样,概念需要定义,新概念由前此概念定义,必也出现这样情况最原始概念无法定义。因此,我们要想建立一门科学严格理论体系,只能采取如下方法:让该门学科某些概念以及与之有关某些关系作为不加定义原始概念与公设或公理,而以后全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理方法演绎出来,这种从尽可能少一组原始概念与公设或公理出发,运用逻辑推理原则,建立科学体系方法叫做公理化方法。 2数学公理化方法逻辑特征 ,公理之间不能自相矛盾,由公理系推出结果也不能矛盾,即不能同时推出命题A与其否定命题,显然,这是对公理系统最基本要求。如何证明给定公理系统无矛盾性呢?若想通过“由这一公理系作出全部可能推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能。 ,被选定公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求是公理组中公理之间不能有依从关系,若某一公理被其余公理推出,那它实质上就是一个定理,在公理组中就是多余,所以,独立性要求公理组中公理数目最少。 ,公理组选取能保证由公理组推出该系统全部真命题,所以,公理不能过少,否则就推不出某些真命题,这是关于完备性古典定义。现代数学常借助模型同构给公理系完备性下定义,即如果公理系T所有模型或解释都彼此同构,就称这个公理系是完备。在上述公理化方法三个特征中,无矛盾性是最重要而又是非有不可。独立性从理论上讲,从完美简炼上讲,应该要求,因为公理与定理在整个系统中处地位不同,公理是出发点,定理是推出,不能混在一块。但是,独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。至于完备性,要求就大大放宽了;而且“从研究完备公理系确定对象转向研究其公理系不完备对象”被认为是现代数学特征之一。 3数学公理化方法在研究数学中作用与意义 ,把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统,因而便于人们系统地理解知识体系,便于掌握理论本质。它是应用演绎推理基本方法,它为认识世界提供了演绎推理模式,提供了一种理性证明手段,它是表述科学理论一种比较完善方法,它为各门科学提供了一种思想方法上示范与有效表述手段,有利于促进理论完善与严格化。它赋与数学内在统一性,有助于人们了解数学各分支、各部门之间本质联系。