数学思想方法――等价转化.doc

数学思想方法――等价转化解决数学问题时,我们常会遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、剖析、类比、联想等思维过程选择运用恰当数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉问题),通过对新问题求解,达到解决原问题目,这一思想方法我们称之为“化归与转化思想方法”.转化思想实质是揭示联系,,,,,如函数与方程转化,未知向已知转化,数与形转化,空间向平面转化,正面与反面转化等,、剖析. 题型一函数与方程转化例1、已知函数在定义域内是增函数,则实数m取值范围为_______. 剖析:f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立. 解题回顾: (1)f(x)在区间(a,b)上为增函数(减函数)常转化为对恒成立(注意验证(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题,本题中采用分离参数法,问题就明朗化了. 剖析:建立如图所示平面直角坐标系解题回顾: (1)解决向量问题我们有三种方法:一线性运算、二向量数量积定义、.(2)本题也体现了数与形转化. 例3、中,角A对边长等于2,向量向量(1)求取得最大值时角A大小; (2)在(1)条件下求面积最大值. 剖析: 故取得最大值时角(2)设角A、B、C所对边长分别为a、b、c, 由余弦定理,得即,当且仅当b=c=2时取等号, 又,当且仅当a=b=c=2时, 面积最大为解题回顾: (1). (2)、若关于x方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0,π]上有两个不同解,求实数a取值范围. 可知: 解得: 解题回顾:本题涉及多种转化, 一是三角函数异名化同名,三角函数转化为代数问题, 二是方程问题转化为函数问题. 题型二未知与已知转化例1、已知则剖析:由已知可得所以把变形成点评:在三角求值中,我们一定要注意已知角与未知角关系,. 例2、在R上定义运算若不等对任意实数x都成立,则实数a取值范围剖析:由定义可知即恒成立点评:定义信息型创新题是近年高考出现频率较高试题之一,对定义信息提取与转化是求解关键,也是一个难点. 例3、已知是定义在上函数,且对任意实数,恒有且最大值为1,则满足解集为_______. 剖析:解决本题关键是对理解. 从代数角度看:当时, ,当时, 所以此函数在定义域内为增函数, 从几何角度看:此函数上任意两点连线斜率均大于0,所以此函数为增函数. 解题回顾:未知