数列典型习题及解题方法.doc

,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:数列是等比数列;⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和。分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ①已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=,所求的求和公式为S=2(3n-4)+:、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,{an}的前项的和Sn=(an-1)(n+),(1)求a1;a2;(2)求证数列{an}为等比数列。解:(Ⅰ)由,得∴又,即,得.(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,、设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式,(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。 解:(I)因故{bn}是公比为的等比数列,且 (II)由注意到可得 记数列的前n项和为Tn,,且满足⑴求数列的通项公式;⑵设,求;⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。解:(1)由题意,,为等差数列,设公差为,由题意得,.(2)若,时,故(3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意,均有说明:本例复****数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.常用方法观察法例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,…(2)(3)(4)解:(1)变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,……∴通项公式为:(2)(3)(4).观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系。二、定义法例2:已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,∴d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。三、      叠加法例3:已知数