数学建模荒山种树.doc

【针对问题】为了比较人们投资荒山种树经济收益与银行储蓄收益多少,今儿找出最优化的方案,使得相同的投资得到最高的收益。【问题背景】由于荒山闲置浪费,投资荒山开发种树,以可再生资源的开发以适度为原则,就是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最大效益,树木成长之后,砍伐过多会造成资源破坏,砍伐太少又得不到满意的经济效益,下面通过模型试图寻找二者平衡点。【模型一】模型的假设*假设荒山上没有树,栽种Y棵树。*忽略树木自身的繁殖,新增树木就是年初植树的量初步模型建立设x(t)为树木t时刻的数量,此时的增长率r=B+G-D其中B为t时刻的出生率,可以忽略,G为种植率,D为自然死亡率,x(t)表示t时刻某范围内树木的数量,当数量较大时,可以将x(t)看作t的连续函数。X(t)的变化仅与r有关。考虑到环境约束的制约作用,一定存在一个环境容量Xm定义为该树木在该森林种的可容纳最大数量。即增长率r应该受Xm的制约,近似假设:R=a(1-X/)其中X/可解释为已消耗资源比例,剩余资源1-X/体现环境阻力的大小,a为比例系数有经验值及大量数据确定。此时,数字模型可如下建立在森林模型里,需要进一步考虑人工砍伐的情况。假设砍伐率为H(x)的图像,两图形的交点就是平衡点。首先考虑一种简单情况,就是不考虑剩余树木的多少,砍伐率为常数,即H(x)=H。下图横坐标x为树木总量,纵坐标代表树木的变化率dx/dt二次函数g(x)与H(X)的交点设为,(<).当0<x<时,所以,这时候随着时间的延续,树木总量x会减少。这时候需要适当下调H(x),使得左移,保证<<x<时>0,随着时间的延续,树木总量会增加。.当<x<时>0,随着时间的延续,树木总量会减少,但是如果减少到以下,又会符合(2)条件,树木总量又会增加。综合(2),(3)可以得到,树木总量如果满足一定初试条件会稳定在附近。最终达到稳定。显然,二次函数最大值为,H(x)不能超过,否则,树木总量会不断减少,过度砍伐最终树林会被砍光。所以H(x)有极限值=事实上,树木砍伐量不会不变,比较直观的想,数多的时候多砍伐一些,树少的时候少砍伐一些。我们可以假设砍伐率H(x)=Ex这时,在做总量与变化率的关系的曲线得到相对来说比较合理,两曲线除零点以外,只有一个交点。当x<时都有>0,树木总量会增加。当x>时都有<0,树木总量会减少。所以时间足够长,参数变化不大的时候树木总量会稳定在,容易求得当E减少时,树木的稳定量会增加。但是考虑到经济效益,不可能将E减小到太小。需要一定的H(x)保证经济收入,下面将通过模型的深入研究经济状况对树木采伐量的影响。同样的,采伐量H(x)存在一个最大值,当且仅当直线H(x)与g(x)的最高点相交仍然有==得到结论时一年最大砍伐量为模型的深入研究首先了解几个经济学概念劳动边际产量:增加的一单位劳动所引起的产量增加量。边际产量递减:一单位投入的边际产量随着投入的增加而减少的性质。但伐木工人少的时候,他们可以很容易找到相对容易的可以砍伐的树,随着工人的增加,增加的工人不得不砍伐比较难砍伐的树木,或者很难找到适合砍伐的树(数需要符合一定条件才能砍伐)。总之,工作效率会下降,所以每个增加的工人的贡献越来越少。假设劳动力数量为n,工人工资为w元/人,木材价格为c元/立方米。林场总利润为P(不考虑植树成本)。单位劳动力每年