数值分析简明教程课后习题答案.doc

、(,题1)用二分法求方程在[1,2]的近似根,要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式,,因此取,。+1234567892、(,题2)证明方程在区间[0,1]有唯一个实根;使用二分法求这一实根,要求误差不超过。【解】由于,则在区间[0,1]上连续,且,,即,由连续函数的介值定理知,在区间[0,1],即在区间[0,1]上是单调的,故在区间[0,1],,因此取,。.(,题8)已知e=…,试问其近似值,,x2=,各有几位有效数字?并给出它们的相对误差限。【解】有效数字: 因为,所以有两位有效数字; 因为,所以亦有两位有效数字; 因为,所以有四位有效数字;;;。评(1)经四舍五入得到的近似数,其所有数字均为有效数字;(2)近似数的所有数字并非都是有效数字. 2.(,题9)设,,均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】 ,;,;,;评经四舍五入得到的近似数,.(,题10)已知,,的绝对误差限均为,问它们各有几位有效数字?【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起,故,有三位;有一位;而,也是有一位****题1)求作在节点的5次泰勒插值多项式,并计算和估计插值误差,最后将有效数值与精确解进行比较。【解】由,求得;;;;;,所以插值误差:,若,则,而,精度到小数点后5位,故取,与精确值相比较,在插值误差的精度完全吻合!2、(,题12)给定节点,试分别对下列函数导出拉格朗日余项:(1);(2)【解】依题意,,拉格朗日余项公式为(1)→;(2)因为,所以3、(,题13)依据下列数据表,试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。【解】依题意,,拉格朗日余项公式为线性插值因为在节点和之间,先估计误差;须保留到小数点后4为,计算过程多余两位。抛物线插值插值误差: 抛物线插值公式为:经四舍五入后得:,与精确值相比较,在插值误差围完全吻合****题33)设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数b,c的值.【解】依题意,要求S(x)在x=1节点函数值连续: ,即: 一阶导数连续: ,即: 解方程组(1)和(2),得,即由于,所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。2、已知函数的一组数据,和,(1)求其分段线性插值函数;(2)计算的近似值,并根据余项表达式估计误差。【解】(1)依题意,将x分为[0,1]和[1,2]两段,对应的插值函数为,利用拉格朗日线性插值公式,求得; (2),而 ,实际误差为:。由,可知****题35)用最小二乘法解下列超定方程组: 【解】 构造残差平方和函数如下:, 分别就Q对x和y求偏导数,并令其为零: : , : , 解方程组(1)和(2),得 2****题37)用最小二乘法求形如的多项式,使之与下列数据相拟合。【解】令,则为线性拟合,根据公式(,公式43),取m=2,a1=0,N=5,求得; 依据上式中的求和项,列出下表xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)∑ 将所求得的系数代入方程组(1)和(2),得;;即:****题3)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精度: ; ; 。【解】 (1)令时等式精确成立,可列出如下方程组: 解得:,即:,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(1)具有3次代数精度。(2)令时等式精确成立,可列出如下方程组:解得:,即:,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(2)具有3次代数精度。(3)令时等式精确成立,可解得:即:,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(3)具有2次代数精度。2****题6)给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式,