数学建模论文(乒乓球).doc

摘要问题重述背景:问题:A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛,两队各派3名选手上场,并各有3种选手的出场顺序(分别记为和)。根据过去的比赛记录,可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场,则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下:根据矩阵R能看出哪一队的实力较强吗?如果两队都采取稳妥的方案,比赛会出现什么结果?如果你是A队的教练,你会采取何种出场顺序?比赛为五战三胜制,但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的,这样的数据处理和预测方式有何优缺点?二、问题分析乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。根据题目意思,两队各派3名选手上场,并各有3种出场顺序(分别记为和)。而且根据以往经验给出了打满5局A队可胜的局数构成的矩阵(如题图)。我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下,A队每一局获胜的概率,并求出对应矩阵。由于是五局三胜制,获胜情况包括:,整场结束。,即前三局只赢了两局。,即前四局只赢了两局。我们进而可以求出整场比赛下来,A队获胜的概率。对于问题一,我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下,赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。对于问题二,我们可以求出每队在选择某一出场顺序下,赢得整场比赛的概率,这其实可以看成是条件概率的问题。概率平均值大的即为所求的稳妥方案。例如A队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率,求出在B队以各种出场方案情况下,A队获胜概率的平均值,若此平均值比a2,a3的情况下大,则对A队来说,a1方案即为稳妥方案。在这里,还要求出B队的各种矩阵。对于问题三,与问题二类似,较为稳妥的方案即为所要的方案。对于问题四,由于比赛存在没打满五局就结束的情况,因为比赛是采取五局三胜制,如果在五局之前比赛结果就出来了,就没有必要进行下面几局的必要了。三、模型假设与约定1、假设队员都正常发挥。2、外界环境变化忽略。3、对手双方的出场顺序相互独立,互不影响。四、符号说明R:在打满5局,A队可胜局数的矩阵。Q:在打满5局,A队可胜局数的矩阵。R1:在打满5局,A队每局可胜的概率矩阵。R2:在打满5局,A队最终可胜的概率矩阵。Q1:在打满5局,B队每局可胜的概率矩阵。Q2:在打满5局,B队最终可胜概率的矩阵。五、模型建立A队打满5局A队可胜局。的矩阵已知,如下:因此可以求出B队打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下:对于A队,由R矩阵可以求得矩阵R1,=:同理对于B队:比赛是五局三胜制,要在五局三胜制比赛中最后获胜,才是真正获胜。下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率:A队最后获胜,可以分成下列几种情况:令;(1)A队前三局获胜。这种情况的概率为;(2)在前三局中A队胜二局,B队胜一局,第四局A队又胜一局。这种情况的概率为;(3)在前四局中A队胜二局,最后A队又胜一局。这种情况的概率为;把这三种情况加起来,就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。将各数值代入上式,可以计算出A队最后获胜的一个矩阵对于B队,最后获胜,可以分成下列几种情况:令;(1)B队前三局获胜。这种情况的概率为;(2)在前三局中B队胜二局,A队胜一局,第四局B队又胜一局。这种情况的概率为;(3)在前四局中B队胜二局,最后B队又胜一局。这种情况的概率为;把这三种情况加起来,就得到在五局三