新人教版九年级数学(上)——一元二次方程根与系数的关系.doc

一元二次方程根与系数的关系 知识点一、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为;而当,是不能开方的,所以方程无实数解。而与0的大小关系又取决于;所以:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根。由此可知的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把称作根的判别式,用符号“Δ”表示;即:根的判别式的作用:①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。例题精讲不解方程,判别一元二次方程的根的情况是(),那么方程(). ?关于的一元二次方程:⑴有两个不相等的实数根;⑵有两个相等的实数根;⑶,为何值时,方程的根为有理数?已知关于方程⑴求证:无论取何值,这个方程总有实数根;⑵若等腰的一边长为,另两边长、恰好是这个方程的两个实数根,★1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=,所以方程的根的情况是.★2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是()★★3、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,那么总成立的式子是()-4ac>-4ac<-4ac≤-4ac≥0★★4、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k=.★★★5、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.★★★6、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,求的取值围.★★★7、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k()>-≥->≥0★★★8、当k为何值时,关于x的方程kx2-(2k+1)x+k+3=0有两个不相等的实数根?★★★,(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。知识点二、韦达定理当Δ≥0时,由求根公式可知。可令,∴,。我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为:韦达定理注意:⑴前提:对于而言,当满足①、②时,才能用韦达定理。⑵主要容:⑶应用:整体代入求值。例题精讲例题1、已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两个根,不解方程,那么:x1+x2=;x1·x2=;+=;x21+x22=;|x1-x2|=。、方程的两个根是x1,x2,求代数式的值。2、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1)(x1+1)(x2+1)(2)例题2、已知是一元二次方程的两根,求以为根的方程。-2kx+k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且x12-2kx1+2x1x2=5,,(1)求k的取值围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反