最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版).docx

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合最值综合题1.(2019•绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°,∠C=135°,∠E>90°,要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在AE上,并使所截矩形材料的面积尽可能大.(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积.(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值;如果不能,:(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,如图1所示:过点C作CF⊥AE于F,S1=AB•BC=6×5=30;②若所截矩形材料的一条边是AE,如图2所示:过点E作EF∥AB交CD于F,FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于H,则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,∵∠C=135°,∴∠FCH=45°,∴△CHF为等腰直角三角形,∴AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,∴BG=CH=FH=FG﹣HG=6﹣5=1,∴AG=AB﹣BG=6﹣1=5,∴S2=AE•AG=6×5=30;(2)能;理由如下:在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于M,FN⊥AE于N,过点C作CG⊥FM于G,则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,∵∠C=135°,∴∠FCG=45°,∴△CGF为等腰直角三角形,∴MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,设AM=x,则BM=6﹣x,∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x,∴S=AM×FM=x(11﹣x)=﹣x2+11x=﹣(x﹣)2+,∴当x=,.(2019•绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M,N分别在边AB,CD上,点E,F分别在边BC,AD上,MN,EF交于点P,记k=MN:EF.(1)若a:b的值为1,当MN⊥EF时,求k的值.(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,∠MPE=60°,MP=EF=3PE时,求a::(1)如图1中,作EH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴FH=AB,MQ=BC,∵AB=CB,∴FH=MQ,∵EF⊥MN,∴∠EON=90°,∵∠ECN=90°,∴∠MNQ+∠CEO=180°,∠FEH+∠CEO=180°∴∠FEH=∠MNQ,∵∠EHF=∠MQN=90°,∴△FHE≌△MQN(ASA),∴MN=EF,∴k=MN:EF=1.(2)∵a:b=1:2,∴b=2a,由题意:2a≤MN≤a,a≤EF≤a,∴当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大最大值=,当MN的最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为.(3)连接FN,ME.∵k=3,MP=EF=3PE,∴==3,∴==2,∵∠FPN=∠EPM,∴△PNF∽△PME,∴==2,ME∥NF,设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,①如图2中,当点N与点D重合时,⊥BD于H.∵∠MPE=∠FPH=60°,∴PH=2m,FH=2m,DH=10m,∴===.②如图3中,当点N与C重合,作EH⊥=m,HE=m,∴HC=PH+PC=13m,∴tan∠HCE===,∵ME∥FC,∴∠MEB=∠FCB=∠CFD,∵∠B=∠D,∴△MEB∽△CFD,∴==2,∴===,综上所述,a:.(2019•益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时,求点C的坐标;(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠:(1)如图1,过点C作CE⊥y轴于点E,∵矩形ABCD中,CD⊥AD,∴∠CDE+∠ADO=90°,又∵∠OAD+∠ADO=90°,∴∠CDE=∠OAD=30°,∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,在Rt△OAD中,∠OAD=30°,∴OD=AD=3,∴点C的坐标为(2,3+2);(2)∵M为AD的中点,∴DM=3,S△DCM=6,又S四边形OMCD=,∴S△ODM=,∴S△OAD=9,设OA=x、OD=y,则x2+y2=36,xy=9,∴x2+y2=2xy,即x=y,将x=y代入x2+y2=36得x2=18,解得x=3(负值舍去),∴OA=3;(3)OC的最大值为8,如图2,M为AD的中点,∴OM=3,CM==5,∴OC≤OM+