时域信号,复频域 ppt课件.ppt

时域信号,,因果信号的傅氏正、反变换为傅氏变换对于一些指数函数处理不方便,主要原因是这类函数不收敛,例如阶跃函数u(t)。为了使函数收敛,我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt,使得f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。即有f1(t)=f(t)e-σt式中,e-σt为收敛(衰减)因子,且f1(t)满足绝对可积条件。则(-1)令σ+jω=s,式(-1)可表示为(-2)F1(ω)的傅氏反变换为(-3)式(-3)两边同乘eσt,eσt不是ω的函数,可放入积分号里,由此得到(-4)已知s=σ+jω,ds=d(σ+jω),σ为常量,ds=jdω,代入式(-4)且积分上、下限也做相应改变,式(-4)可写作(-5)因为e-σt的作用,式(-2)与(-5)是适合指数阶函数的变换。又由于式(-2)中的f(t)是t<0时为零的因果信号,故称“单边”变换。将两式重新表示在一起,单边拉氏变换定义为(-6)式中称s=σ+jω为复频率,F(s)为象函数,f(t)为原函数。-1复平面象函数与原函数的关系还可以表示为(-7)s=σ+jω可以用直角坐标的复平面(s平面)表示,σ是实轴,jω是虚轴,-1所示。由以上分析,并比较式(-6)与傅里叶变换对关系式,以及式(-2)的推导,可见拉氏变换的基本信号元为est。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽,不需要信号满足绝对可积,但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题,这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围,或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。由式(-3)的推导可见,因为e-σt的作用,使得f(t)e-σt在一定条件下收敛,即有(-8)