第一章 插值法.ppt

问题的提出拉格朗日插值分段低次插值埃尔米特插值第一章插值法/*Interpolation*/插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前,我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。问题的提出函数y=f(x)1)解析式未知;2)虽有解析式但表达式较复杂,通过实验计算得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi),xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3)列表函数问题:无法求出不在表中的点的函数值,也不能进一步研究函数的其他性质,如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。——插值问题已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x),满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)定义:设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),若用函数p(x)去近似代替它,使得 p(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)则称函数p(x)为f(x)的插值函数;称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。p(xi)=yi称为插值条件。本章只讨论多项式的插值问题,即构造n次多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 使满足Pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n),及利用Pn(x)进行插值计算的问题。最简单的插值函数是代数多项式Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, …...(1) 这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件pn(xi)=yi,,i=0,1,2,…,n, ……(2)只要求出Pn(x)的系数a0,a1,…,an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+…+anx0n=y0 a0+a1x1+…+anx1n=y1 ……………………. a0+a1xn+…+anxnn=yn ……(3)而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式= ……(4)由于xi互异,所以(4)右端不为零,从而方程组(3)的解a0,a1,…an存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,…n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是计算量随着n增大。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法----Lagrange插值和Newton插值。定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明:(利用Vandermonde行列式)反证:若不唯一,则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。考察则Qn的阶数n而Qn有个不同的根n+1x0…xn注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。Lagrange插值拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出。18岁时,拉格朗日用意大利语写了第一篇论文,是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商,他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来,使数学的独立性更为清楚,从此数学不再仅仅是其他学科的工具。近百余年来,数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。