数学系信息与计算科学专业学士学位论文.doc

数学系信息与计算科学专业学士学位论文.doc编号学士学位论文线性方程组的解盛学生姓名 学 号 20050105038系部专 业 信息与计算科学年级指导教师 完成日期2010年5月14日摘要本文主要讨论:线性方程组有解的判别定理,解的求法,线性方程组解的结构。关键词线性方程组;矩阵的秩;增广矩阵;系数矩阵;解的结构;基础解系目录摘要 1引言 1线性方程组 1一般线性方程组 3线性方程组的解法 (Cramer法则) 42消元法 8线性方程组解的结构 11-般线性方程组解的结构 16总结 20参考文献 20致谢 22引言线性方程组是高等代数中重要概念之一,因此,有必要系统而深入地讨论求解线性方程组的问题。对方程的个数与未知量的个数相等,且未知量的系数行列式不为零的线性方程组用克拉默法则来解,但是行列式的阶数比较高时,用这种方法比较麻烦;当方程的个数相等未知量的个数且系数行列式为零时,不能使用克拉默法则,所以我们讨论一般线性方程组满足什么条件时才有解?如果有解,那么如何求解?如果方程组的解不是唯一时,那么无穷多解如何表示成有限个解的问题,即通过找出基础解系把线性方程组的无穷多解可用有限个解来表示等问题。•般线性方程组是指形为%内+%易+•••+%冉=4a2lxt+a22x2+•..+a2nxn=b2(')。湖同+弓次2+・・・+%/〃=如的方程组,其中.,七代表〃个未知量;S是方程的个数,(z=1,2, ,m, j=l,2,...,n)称为方程组的系数bj(j=1,2,…,m)称为常数项。方程组(1)中未知量的个数〃与方程的个数m不一定相等,系数%的第一个指标,表示它在第,个方程,表示它是土•的系数。线性方程组(1)还可以表示成矩阵形式:引入矩阵“12•.•%、%A=角1•••••••••••b=b2...,x=...⑵瞄A__七_那么方程组(1)可以写成AX=b (3)短阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵,X称为未知量矩阵,/,称为常数项矩阵&“12a2\•••.••♦♦♦b2⑷“m2 •..称为线性方程组(1)的增广矩阵。若X]=&,尤2=&2,.・.叫=kn是方程组(1)的一个解,则IX=称为方程组(1)的一个解向量,它就是方程组(1)的一个解。(线性方程组有解的判别定理)线性方程组(1)有解的充要条件是它的系数矩阵/\“11 "12 …"1〃a\\ “12 •••“1〃 "1人=“21 。22 ••,“m和增广矩阵云=。21 。22 .•,“2〃•••••••••••......•••"m2 …命)[“ml"m2 >有相同的秩。证明充分性:如/?(■)=/?(■),那么向量组与向量组,/?有相同的秩,于是向量组与向量组0,有相同的最大独立组,故月可由该最大独立组线性表示,从而可由向量组%,%,…,%线性表示,即存在一组数灯*".,、使/3=k}a}+k2a2+...+knan成一立。必要性:如存在一组数4,匕,使0=0+/2%+...+以〃成立,这说明”可由向量组%,%,...,%线性表示,从而向量组%,%,...,%与向量组0,%,...,%,/?等价。于是向量组0,%与向量组%,%,...,%,/?有相同的秩,即/?(A)=/?(A);交换两个方程的位置;用一个非零的数乘某一个方程;把一个方程乘某一非零数后加到另一个方程;证明我们只证明第三种变换,其他的变换很容易证明。把方程组〈1〉的第二个方程乘上&后加到第一个方程,得(%l+Si)X1+("12+ka22)入2+…+(a\n+ka2n)Xn=&+如(5)+tz22x2西+。成工2+•・・+%&=勾设g,...,c“是方程组⑴的任一•解,因⑴与(5)的后m-l个方程是一样的,所以(C],C2,...,C〃)满足(5)的后m-l个方程,又(q,勺,...,%)满足(1)的前两个方程:知勺+%6+・・・+%七=4 (6)。21。1+a22C2+...+ =b2 (7)将(7)式乘k后加到(6)式可得,(%]+ka2{)q+(%+如22)。2+•••+(a\n+如2〃圮=4+灿2°这就是说C'|,C'2,C、3,...,C;满足(5)的第一•个方程,因此C'"2,C'3,・..,C'〃是(5)的一个解。类此地可证(5)的任一解也是(1)的解这就证明了(1)与(5)是同解的。(Cramer法则)定理1(Cramer法则)n个未知量n个方程的线性方程组《活+叩易+・・・+“"”2(8)。2内+。22切+・・・+。2〃儿=打V。,仍+%易+•••+%玉=如的系数矩阵“12的行列式d=