高等考试数学立体几何大题30题.doc

,一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD把△(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺,应该如何确定A,B的位置,使二面角A-CD-B是直二面角?证明你的结论.(2)试在平面ABC上确定一个P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直,证明你的结论.(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,:(1)用直尺度量折后的AB长,若AB=4cm,则二面角A-CD-B为直二面角.∵△ABC是等腰直角三角形,又∵AD⊥DC,BD⊥DC.∴∠ADC是二面角A-CD-B的平面角.(2)取△ABC的中心P,连DP,则DP满足条件∵△ABC为正三角形,且AD=BD=CD.∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,由P为△ABC的中心,知DP⊥平面ABC,∴DP与平面内任意一条直线都垂直.(3)当小球半径最大时,此小球与三棱锥的4个面都相切,设小球球心为0,半径为r,连结OA,OB,OC,OD,三棱锥被分为4个小三棱锥,且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r,故有代入得,,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3,侧棱长为4,连结A1B,过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。(Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC;(Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积;(Ⅲ)求二面角B—AE—(Ⅰ)∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,∴D1D⊥,又底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,由三垂线定理知D1B⊥,D1B⊥AE,AE∩AC=A,∴D1B⊥(Ⅱ)VB-AEC=VE-ABC.∵EB⊥平面ABC,∴EB的长为E点到平面ABC的距离.∵Rt△ABE~Rt△A1AB,∴EB=∴VB-AEC=VE-ABC=S△ABC·EB=××3×3×=(10分)解(Ⅲ)连CF,∵CB⊥平面A1B1BA,又BF⊥AE,由三垂线定理知,CF⊥,∠BFC为二面角B—AE—C的平面角,在Rt△ABE中,BF=,在Rt△CBF中,tg∠BFC=,∴∠BFC=—AE—,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1,点M在BC上,△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形. (I)求证:点M为BC的中点; (Ⅱ)求点B到平面AMC1的距离; (Ⅲ)求二面角M—AC1—:(I)证明:∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形, ∴AM⊥MC1且AM=MC1 ∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 有CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面内的射影为CM, 由三垂线逆定理,得AM⊥CM. ∵底面ABC是边长为1的正三角形, ∴点M为BC中点.(II)解法(一)过点B作BH⊥(I)知AM⊥C1M,AM⊥CB,∴AM⊥平面C1CBB1.∴AM⊥BH.∴BH⊥平面AMC1.∴BH为点B到平面AMC1的距离.∵△BHM∽△=C1M=1M中,1解法(二)(I)知AM⊥C1M,AM⊥CB,∴AM⊥平面C1CBB1∵AB=1,BM=(III)过点B作BI⊥AC1于I,连结HI.∵BH⊥平面C1AM,HI为BI在平面C1AM内的射影.∴HI⊥AC1,∠BIH为二面角M—AC1—△BHM中,∵△AMC1为等腰直角三角形,∠AC1M=45°.∴△=∴,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;(Ⅲ)求二面角C-BE-:(Ⅰ)取CE中点M,连结FM,BM,则有.∴四边形AFMB是平行四边形.∴AF//BM,∵平面BCE,平面BCE,∴AF//平面BCE.(Ⅱ)由于DE⊥平面ACD,则DE⊥△ACD是等边三角形,则AF⊥∩DE=D,因此AF⊥//AF,则BM⊥平面CDE..(Ⅲ)设G为AD中点,连结CG,则CG⊥⊥平面ACD,平面ACD,则DE⊥CG,又AD∩DE=D,∴CG⊥⊥BE于H,连结CH,则CH⊥BE.∴∠CHG为二面角C-BE-=1,DE=AD=2,则,∴.不难算出.∴,∴.∴.:ABCD是矩形,设PA=a,PA⊥、N分别是AB、PC的中点.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若