朱占奎--平面几何.doc

朱占奎--平面几何.doc平面几何(1)江苏省靖江高级中学朱占奎一常用定理及其变式1(梅涅劳斯定理及其逆定理))设A'、C'分别是*BC的三边BC、CA. 或其延长线上的BAfCB'点,则等式要条件是A'、B'、C'三点共线。成立的%2(赛瓦定理及其逆定理)设4、B'、C'分别是AABC的三边8C、以、A8或其延长线上的R/VCR9ACf点―则等式彳_上]牛=1成立的充要条件是BB'、CC'三条直线共点或三条直线AfCB'ACB3(托勒密定理及其逆定理)在凸四边形ABCD中则A、B、C、・CjD+BC・AD=AC・(托勒密定理及其逆定理)在凸四边形ABCD中则A、B、C、・CjD+BC・AD=AC・(西姆松定理及其逆定理)定理:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足点共线;逆定理:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。二、基本结论及其应用(张角定理)设A、C、B顺次分别是平血内一点F所引二•条射线中、PC、上的点,线段AC、C8对丁点P的张角分别为a、/3,且a+"<180。,则A、C、B三点共线的充要条件是:sin(a+(i)_sinasin/3""~PC~PB+PA(欧拉定理)在*BC中R为r分别为外接圆和内切圆的半径,0和I分别为其外心和内心,则OI2=R2-(.二角形的欧拉线)AABC的重心G,垂心H和外心。共线,并旦GH=2G。。()P是AABC外接圆上的一点,点P与点C在直线AB的异侧,则PBsinB+PAsinA=.①已知AABC中,AB>AC,ZA的一个外角平分线交外接圆于E,过E作EFLAB,:2AF=AB-AC.②已知:如图,折线ABC是圆0的一条折弦,AB>BC,点M是ABC的中点,MH_LAB,垂足为H.,证明AH=HB+BC③已知锐角\ABC的4的平分线交BC于L,交接圆于N,过L分别作LK1AB,LMLAC,垂足分别是K、:四边形AKNM的面积等于AABC的血•积.(结论)P是AABC内任意一点,AP、BP、CPPDpePF交BC、AC、AB于D、E、F,求证:——+—+——=①P是\ABC内任一点,则APBPCP FAD=②P是\ABC内任意一点,则——、一、二中至少有一个不大于2,③P是\ABC内任一点,P到BC、AC、「,设\ABC三边上的高是幻、④P是正MBC内任意一点,则da+dh+dc=h{}(其中/z是正三角形一边上的高.)P是等腰三角形底边BC±任一点,则《,+《•="・(其中“是AABC腰上的高)9 111设P是\ABC外接圆的圆心,则二=——+——+——.(其中R是外接圆半径).RADBECFP是AABC的内心,则-=—+—+—(其中厂是内切圆半径)rha虬hc1 1P是RtAABC的直角C的平分线与斜边AB的交点,贝iJ-+-=—(其中。、b是直角三abPC角形两直角边长)平面几何(2)江苏省靖江高级中学朱占奎6.(结论)P是正\ABC外接圆上任一点,当P在BC±时,求证:AP=BP+CP时,求证:AP=BP+CP.①P疽+尹疥+尹。2=2。2.(其中Q是正C的边长).②设AP交BC于D点,求证:—+—=—.PBPCAP③设AP交BC于D,求证: 1 = BPCPPD④过P分别作BC、AC、AB垂线,垂足分别是H、E、F,求证:111 = 1 PHPEPF3PE+PF—PH=^R(R为外接圆半径)•2求证H、E、、N、G分别是AB、BC、AC的中点,求证:PM2+PN2+PG2=-a24己知AA8C是等三角形,P是AABC外接圆BC±任一点,PA=PB+PC,(结论)AABC的高AD,BE相交于H,AD延长线交外接圆于点G,求证:D为H(点0j的中DAN例题.①^AABC的外接圆中,过垂心H作三条弦44'、'。若HA=a,HB=b,HC=c,问六边形AC,BA,CB,的周长是多少?②.给定△ABC,试求一点,使它关于三角形三边所在直线的对称点都在三角形的外接圆上三、常用方法举例1如图,已知M、,且AM=,:ZAPN=、:、N、。。是以AB为直径的半圆上的一点(ACvBC),。在上,BD=AC,F是AC上的一点,BF交AD于E,且ZBED=45°.求证:AF=,E、g分别为边BC、CZ)上的点,P、Q、R分别为的中点