欧拉公式在三角函数求和中的运用.doc

欧拉公式在三角函数求和中的运用.doc三角函数求和,其繁杂的计算量让人望而止步,而欧拉公式的提岀,使三角函数与复指数函数有了关联,从而可以将对三角函数的运算转化为复指数函数的运算,大大减少计算量。一、(k9)+isin(k。)。分析:这是个可以化成复指数函数的典型问题,我们知道欧拉公式为ei0=cos0+isin0分别令e为e和-e,从而得到三角函数由复指数函数的表达式:COS0=sin0=于是将上式化为ei(k0)为关键。解:原式=ei(k6)=ei0+ei(26)+•••+ei(n9)由求和公式,原式==ei9[]再将复指数函数由三角函数表示得原式=ei0e二、 (x+ky)=cos(x+ky)=HO。分析:此题的关键是构造与欧拉公式相同的形式,将三角函数与复指数函数联系起来,再由欧拉公式进行转换。解:记A=cos(x+ky)B=sin(x+ky)A+iB=cos(x+ky)+isin(x+ky)=ei(x+ky)=eixeiky=eix(1+eiy+ei(2y)+・・・+ei(ny))=eix=eix=[cos(x+y)+isin(x+y)]?则我们取A+iB的实部,便是cos(x+ky)的和,取A+iB的虚部,便是sin(x+ky)的和,从而我们可以得证cos(x+ky)=sin(x+ky)=三、 复杂三角函数求和例3•kcos(kx+a)及Cnksin(kx+a)。分析:这题在例2的基础上,与组合数学结合,我们可以在构造欧拉公式的基础上与二项式定理相联系。kcos(kx+a)ksin(kx+a)。贝ijC+kcos(kx+a)+iCnksin(kx+a)。二