高中数学奥赛系列辅导材料 集合(二)教案.doc

集合(二)【经验谈】集合是数学中的重要基础知识,不论是高考还是数学竞赛中都少不了它的一席之地。本文将帮助你彻底掌握集合知识。【内容综述】集合是组合数学的基础,也是高中数学竞赛中的重要组成部分。希望大家通过本讲学****开拓思路,灵活解题,另外,要想解好集合题目,相关知识也很重要。【例题分析】例1:设,,…是有限集合的50个子集,每个子集都含有的半数以上的元素,证明:存在子集,它至多含5个元素,并且和集合,…中每一个集合至少有一个公共元。分析:我们知道,这种题目并没有什么特别好的办法,只能一个一个把这5个元素找出来,我们还是可以先将题目简化成简单形式,看是否方便理解一些,但这里我们就不这么做了。证明:设集合中元素个数为n,子集,,…中每一个都含以上的元素,即所有这些子集的元素个数大于由抽屉原理,必有集合的元素,它至少属于26个子集,同理可证,对每个,在子集,,…,中至少有个子集,它们具有公共元素,在集合中取出一个元素,它至少属于26个子集,并作为集合中五个元素之一,去掉包含这个元素的26个子集,在余下24个子集中取一个元素,它至少属于13个子集,去掉这13个子集,在余下的11个子集中取一个元素,它至少属于6个子集,在余下5个子集中取一个元素,它属于3个子集,剩下两个子集再取一个公共元素就可以了,于是,求得集合的至多5个元素(在上述过程中所取的元素可能重复,所以可能小于5),它们构成集合,而子集,,…中每一个都至少含有它的一个元素。说明:这道题目当和均较小时也就可以作为小学生竞赛题,而数目增大以后却成为了英国高中竞赛题目,假设我们在分析较小的数时可以把规律找出,而这是很简单的,那么整道题目也就迎刃而解了,这就告诉我们,做这类整数问题时,应该时时刻刻想到先将数目变小看看规律,然后再做题目本身。例2:有11人管理一个保险柜,可以在柜上加若干把锁,每把锁可以有若干把钥匙,问:如何加锁和如何分配各锁的钥匙,才能使任何6个人可以把保险柜打开,但任意5个人却不能。分析:我们反过来想一下,假设,,…是11个人打不开的锁的集合,从11个人中任意找5个人的可能性有种情况。要想把它们都区别开,也就是说至少要有462把锁。那么再对462把锁进行构造就可以了。解:设加把锁,又设,,…是这11个人各自打不开的锁的集合,从11个集合中任选5个并集都不相同,故至少应有锁把,为分配好各锁的钥匙,设锁号依次为1号,2号,…462号,同时把11个人任取5个的组合也编上1至462号,然后把锁和组合一一对应起来,给每个人发钥匙时,他所在的组的号的钥匙不给他,其他钥匙都给他,这时就满足题设了。说明:这个构造难度很大,这主要原因还是因数目太大了,也应该先从小的数目做起,最后回到原题。例3:把个元素的集合分为若干个两两不交的子集,按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集:从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数(前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数),证明:可以经过有限次挪动,使得到的子集与原集合相重合。分析:首先考虑到是一个很特殊的数,其次我们发现若两个集合的元素个数除以2的若干次幂后若为奇数,那么,它们之间挪后就应为偶数这一事实,若还不能想到解答就试一下,时的情况,相信解答就不会难找到了。证明:考虑含奇数个元素的子集(如果有这样的子集),因为所有子集所含元素的个数总和是偶