曲线的标准展开.ppt

§,:rr(s),任取其上一点P0:r(s0),不妨设s00,则有Peano余项形式的Taylor展开式其中余项o(s3),,记{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)0,(0)0,:rr(s),任取其上一点P0:r(s0),不妨设s00,则有Taylor展开式若C无逗留点,,记{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)0,(0)0,则易知有() r(0)T0,r(0)0N0,r(0)(0)N00[0T00B0].此式说明:通过对线性无关向量组{r(s),r(s),r(s)}进行规范的Schmidt正交化,标架基向量组{T(s),N(s),B(s)}.:rr(s),任取其上一点P0:r(s0),不妨设s00,则有Taylor展开式若C无逗留点,则() r(0)T0,r(0)0N0,r(0)(0)N00[0T00B0].取{r0;T0,N0,B0}为E3的一个新的单位正交右手标架,所建立的新直角坐标系坐标记为(x*,y*,z*),则此时曲线C的参数方程转化为r*r*(s)(x*(s),y*(s),z*(s))x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0其中r*(s)r(s),将()式代入()式,C的分量形式即为() r(0)T0,r(0)0N0,r(0)(0)N00[0T00B0].r*r*(s)r(s)r0(x*(s),y*(s),z*(s))x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)*(s3),oy*(s3),oz*(s3),,其局部规范形式的主要部分确定了一条三次多项式曲线——曲线C在P0点的局部近似曲线:C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3).*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3).直接计算表明,,曲线C*标架以及相同的曲率值和挠率值****题);这说明它们的几何行为在P0点附近也是很接近的——:曲线C*与曲线C的弧长参数并不一定一致****题),,从逼近的角度去看,*在P0点附近的图形,标架坐标面上的投影曲线的图形而进行,*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3).曲线C**:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3).为观察近似曲线C*在P0点附近的图形,标架坐标面上的投影曲线的图形而进行,*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3).