正弦余弦定理应用.doc

1)在三角形ABC中,已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3,求三角形ABC的最大角的弧度数思路:先证c>a,c>b,说明求角C即可依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4再由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC=-1/2,即得角C=120度2),并适合a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2(同时乘以2)2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0(移项)(a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0(分组)(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0因为一个数的平方为非负数所以a^2-b^2=0b^2-c^2=0c^2-a^2=0即a-b=0b-c=0c-a=0所以此三角形为等边三角形3)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(正弦定理)所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2又因为(b^2+c^2-a^2)/2bc=cosA(余弦定理)所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3(b^2+c^2-a^2)/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bccosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3又因为b^2+c^2>=2bc(基本不等式)所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。解得bc<=9/4综上,向量AB·向量AC<=3/4因此最大值为3/44),且满足2a²+2c²-2b²=ac求角B的大小在三角形ABC中解:cosB=(a²+c²-b²)/2ac=1/4.∠B≈75°31′21〃5)三角形ABC中,a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2则三角形ABC是什么三角形~~答:等边a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^22(a^4+b^4+c^4)=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2=0a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2a=b=c6)已知三角形的边为a,b,c,判断a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2的值。解:它的值小于0,理由如下:a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2=(a^4-2a^2b^2+b^4)-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2=(a^2-b^2)^2-2c^2*(a^2-b^2)+c^4-4b^2c^2=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)=[a^2-(b^2-2bc+c^2)][a^2-(b^2+2bc+c^2)]=[a^2-(b-c)^2][a^2-(b+c)^2]=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)可知:a+b-c>0,a-b+c>0,a+b+c>0,a-b-c<0,所以原式的值是个负数,也就是小于0。7)在△ABC中,三边长为根号a、根号b、根号c,若a^2+b^2=c^2,则△ABC的形状为锐角三角形,为什么解:由余弦定理可以知道:c=a+b-2(根号a)(根号b)*cosC,所以c^2=(a+b)^2+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)(根号b)*cosC=a^2+b^2,所以2ab+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)(根号b)*cosC=0,现在把cosC当成一个未知数x来解方程,就可以解出:√a*√b+2√a√b*(cosC)^2-2(a+b)cosC=0的解为cosC始终是大于0的,所以c为锐角,同理,a和b都可以这样算。所以这是锐角三角形8)△ABC中三边之比为1:1:根号2,则△ABC形状一定不是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形由于:1^2+1^2=(根号2)^2所以,三角形是直角三角形。又有