求对称曲线方程简便方法李霓.doc

求对称曲线方程的简便方法(江西黎川县第一中学李霓344600)定理1:曲线f(x,y)=0关于点P(x0,y0)的对称曲线方程是f(2x0-x,2y0-y)=0证:设A(x1,y1)为曲线f(x,y)=0上任一点,则f(x1,y1)=0设A点关于P点对称点为B(x,y)∴=x0x1=2x0-x代入f(x1,y1)=0=y0y1=2y0-y即得方程曲线方程f(2x0-x,2y0-y)=0例1:求椭圆+=1关于点(2,3)对应的椭圆方程? 解:根据定理1,所求方程为: +=1即+=1定理2:曲线f(x,y)=0关于直线l:y=x+b对称的曲线方程是f(y-b,x+b)=0 证:设A(x1,y1)为曲线f(x,y)=0上任一点,则f(x1,y1)=0……①设点A关于直线l的对称点为B(x,y),则AB的中点M(,)在直线l上,所以=+b……② 又AB⊥l,所以·1=-1……③由②与③联立解得x1=y-b,y1=x+b代入①即得所求对称曲线方程f(y-b,x+b)=0例2:求抛物线y2=4x关于直线y=x-2对称的曲线的方程。 解:根据定理1,所求曲线方程为: (x-2)2=4(y+2) 即:x2-4x-4y-4=0 类同定理2证法,同理可证得定理3:曲线f(x,y)=0关于直线y=-x+b对称的曲线方程是f(-y+b,-x+b)=0例3:求直线2x-y-6=0关于直线y=-x-2对称的直线方程 解:根据定理3,所求方程为: 2(-y-2)-(-x-2)-6=0 即:x-2y-8=0参考文献:邓金彪:《成才之路》内蒙古少年儿童出版社《高中数学辅导与解题范例》(中学理科参考资料编辑部编)广西教育出版社