自主招生数学试题例讲.doc

高校自主招生数学问题讲练全国重点大学自主招生考试是自年开始的一个新的考试门类,目前,这种考试有三大联盟:即,以清华为首的七校联盟,简称“华约”(清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大);以北大为首的十三校联盟,简称“北约”(北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学)(注:复旦、南开两校今年起退出北约单独干);以及以北京理工大学为首的九校联盟,简称“卓越联盟”(北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大).其试题特点是注重基础,知识全面,强化应用,突出能力,灵活多变,并与大学的知识内容及思想方法有所衔接,,自主招生试题已由各有关高校自行命题,改为由国家考试中心命题,目前还没有制定考试大纲,今年仍然按三个联盟分别命题,明年,或许又将合为一卷,这正如三国演义开篇所说:“话说天下大势,分久必合,合久必分”.自主招生试题,包括中学所涉及的全部知识(而不单是按某个省的教材),、对于数列:即正奇数有个,且按自小到大排列,是否存在整数,使得对于任意正整数,都有恒成立?(表示不超过的最大整数)(上海交大)解:对正整数分段,第一段个数,第二段个数,第三段个数,…,第段个数,而,于是当时,的取值为第个奇数,即此时,,由于,所以,据此,,将此与题目要求相比较,可知即是适合条件的整数;(注:年南昌市赛及年江西预赛题:数列由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数连续出现次,,如果这个数列的通项公式为,(其中表示的整数部分,为整数),则.(答案:).简解:由,即当时,,所以,于是,).同类问题:数列数列:即正整数有个,自小到大排列而成,:先对正整数分段,第一段个数,第二段个数,第三段个数,…,第段有个数,而前段项数和为,前段项数和为,如果,那么,于是,当给定时,由此式解得,,注意,于是等于的整数部分,即,也就是,由于数列第段由个组成,其和为,因此数列前段的总和为;由于位于第段的第个数,而这些项全是,因此,;其中.、已知一无穷等差数列中有三项:,求证:为数列中的一项.(北大)证:注意到,一个无穷等差数列任意截去前面一段后仍然是无穷等差数列,故可设此数列为,且,设公差为,则,所以,所以皆为整数,而,即是等差数列的第项.、写出所有公差为的三项等差质数数列,并证明之.(清华大学理科)解:设三数为,其中为质数;考虑模的余数,若,则,即,故是合数,不满足条件;若,则,即,故是合数,不满足条件;故只有,因为质数,只有,于是只有唯一解,即三数为.、设的整数部分为,小数部分为;、求出;、求的值;、求.(清华大学理科)解:、因为,所以,,;、;由于,则.、已知,设数列满足:,,,、证明数列是等比数列;、求数列的通项;、设,证明:当时,有.(华南理工大学)解:、由条件知,是方程的两根,由,所以,;又由条件,所以,由,得,即,且,所以是首项为,公比为的等比数列;、据知,,,即,两边同除,(暂记)得,令,并求和得,,所以,则;、利用数学归纳法,时,,结论成立;若时结论成立,即有,则当时,即时,结论也成立,于是结论得证.、个圆至多将平面分成多少个部分?个球至多将空间分成多少个部分?(南京大学)解:设个两两相交的圆将平面分成部分,现加入圆,它与前个圆都相交,共得对交点,这对交点把的圆周分成段弧,每段弧穿过一个原先的区域,就将该区域一分为二(即增加一个区域),即增加圆后,新增加的区域数为,所以,,即,又,,现加入球,它与前个球都相交,这个球在的球面上交出个圆,据上述结论,球面被分成个区域,则,且,解得.、数列满足:;、求和的关系;、若,证明;、若,证明.(中国科大)解:、由,,相减得,所以,继而有所以,即…①、用数学归纳法,若,由得,据此,;若已有,由①,,因此在时结论也成立,故由数学归纳法,对一切正整数,.、由①得…②,若,则由得,据归纳易见对一切,有,所以由②,,因此、设二次函数的图像过原点,且满足,而数列满足,、确定的表达式;、证明:;、证明:.(武汉大学)解:、设,由过,则,,当条件式两边都取等号时,由得,,这时条件式成为,,得,即,于是;又由,即,也即,此式对任意实数成立,所以有且判别式,即,于是,由此.、,今用数学归纳法证明,时显然,假若在时已有,则,,所以,即.、由,得,由知,所以,若令,则,即,故构成公比为的等比数列,所以有,因此,,于是;由于当时,恰有,而当时,,即对一切正整数,都有,故,所以.、对于函数,如果存在函数,使,:是否为函数?是否为函数?(上海交大)解:取,则,