最优控制--极大值原理.ppt

第三章极小值原理及应用经典变分法缺陷:1、应用前提:a、控制量u(t)的取值不受任何限制,没有任何不等式约束。b、f、L、等函数对其自变量有充分可微性。2、实际控制要求:a、控制量u受不等式约束,如:,i=1,2,3……b、:燃料最优控制:若采用经典变分:.若采用经典变分法:不再适用,求不出解来实际应为极小值原理若在容许控制范围内,J或H有极值且唯一,用极小值原理与经典变分法,所得结论一致。.一、<定理>极小值原理:[时变系统]时变受控系统,其中控制向量,为容许控制域,U(t)是在内取值的任何分段连续函数,为使状态向量由初始转移到末端,满足约束:,未定,并使性能指标达到极小值。设和是如上J为最小的最优解,为最优状态轨为0的n维向量,满足:1、规范方程:2、边界条件:线,、与对应的哈密顿函数H取极小值。即:设为满足状态方程和协状态方程的最优解。在中。把H仅看作U的函数,若J为最小,必要条使得仅看作U的函数时也取最小值。极小值原理的证明:应用数学基础较多,有些书中用很大篇幅进行二、极小值原理的意义:1、容许控制条件放宽变分法:在整个控制域,对U没有约束有时计算不易。极小值原理:H在U的约束闭集中取极小值。变分法仅为极小值原理的一个特例。件为证明,省略。且即使U不受限制,.2、最优控制使哈密顿函数H取极小值,极小值原理由此得名。这一原理是苏联学者“庞特里亚金”等人首先提出,而后加以证明得。在证明过程中:与H得符号与这里所定义的相反。∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。3、H对u没有可微要求,因此应用拓宽。4、极小值原来是求取最优控制的必要条件,非充分条件。即:满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。一般:、几种边界条件得讨论:上面所讨论的是和已知。受约束,自由的最一般情况。若和末端状态不同,只需改变极小值原理的边界条件即可。1)已知,边界条件为:2)给定,自由,未给定,边界条件:确定3)已知,给定,末端受约束边界条件为:若自由:外加:.四、例题分析:设一阶系统状态方程:x(0)=5控制约束:试求使性能指标:为极小值的最优控制及最优性能指标解:定常系统,固定,末端自由问题根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小所以由协状态方程:.由横截条件:显然:当时,(0)=5代入,得所以令t=≤t≤1时x(t)的初始条件:解得所以将代入J可得:.