知识讲解基本不等式基础.doc

基本不等式【学****目标】、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一、.(1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数;(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”.①(同号);②(异号);③或要点诠释:可以变形为:,可以变形为:.要点二、基本不等式的证明方法一:几何面积法如图,、,,4个直角三角形的面积的和是,,所以:.当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,:如果,那么(当且仅当时取等号“=”)特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”)方法二:代数法∵,当时,;当时,.所以,(当且仅当时取等号“=”).要点诠释:特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”).要点三、基本不等式的几何意义如图,是圆的直径,点是上的一点,,,过点作交圆于点D,连接、.易证,那么,,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,:,我们称为的算术平均数,:,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:、用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.①一正:函数的解析式中,各项均为正数;②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,::与成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要求a,,:与都是带有等号的不等式,对于“当且仅当……时,取“=”=b取等号,其含义是;仅当a=b取等号,,a=“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值,则“积”:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③,在应用时一般按以下步骤进行:①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;③在定义域内,求出函数的最大或最小值;④写出正确答案.【典型例题】类型一:( )>0且x≠1时,>0时,≥2时,<x≤2时,无最大值【思路点拨】利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可。【答案】 B【解析】 A中,当x>0且x≠1时,lgx的正负不确定,∴或;C中,当x≥2时,;D中,当0<x≤2时,在(0,2]上递增,.故选B.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:一“正”二“定”三“取等”,:【变式1】,,给出下列推导,其中正确的有(填序号).(1)的最小值为;(2)的最小值为;(3)的最小值为.【答案】(1);(2)(1)∵,,∴(当且仅当时取等号).(2)∵,,∴(当且仅当时取等号).(3)∵,∴,(当且仅当即时取等号)∵,与矛盾,∴上式不能取等号,即【变式2】给出下面四个推导过程:①∵,∴;②∵,∴;③∵,,∴;④∵,,∴.其中正确的推导为()A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】①∵,∴,符合基本不等式的条件,故①推导正确.②虽然,但当或时,是负数,∴②的推导是错误的.③由不符合基本不等式的条件,∴是错误的.④由得均为负数,但在推导过程中,将整体提出负号后,均变为正数,符合基本不等式的条件,故④:,求证:【思路点拨】对于“和”式求最小值时,要设法配凑得“积”为定值,常采用“配分母”的办