线性变换的矩阵表示.ppt

一、线性变换的矩阵表示式一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵设n ),,,,( 2121 222 21 112 11??? n nn nn n naaa aaa aaaA???????????????????????为中的变换定义其中)(, 2 1xTyRa a a n ni i ii??????????????????),(,)(R x Ax xT n??. 为线性变换则T 那么为单位坐标向量设,,,, 21eee n?,0 0 1 121 222 21 112 11 1??????????????????????????????????????aaa aaa aaae A nn nn n n,1 0 0 21 222 21 112 11? n nn nn n n naaa aaa aaae A?????????????????????????????????????,??),,2,1()(nie Te A iii?????即.)( ,)(, 为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此 e TA Ax xTT i?那么使如果一个线性变换反之),, ,2,1()(,n ie TT ii????)(xT]),,, [( 21xeee T n??)( 2211exexex T nn?????)()()( 2211e Txe Txe Tx nn?????xe Te Te T n ))(, ),( ),(( 21??x n),,,( 21?????. Ax ?其中表示都可用关系式中任何线性变换, )()( ,R x Ax xT TR n n??))(, ),( ),(( 21e Te Te TA n??, 21 222 21 112 11???????????????aaa aaa aaa nn nn n n??????.,,, 21 为单位坐标向量 eee n?可知综上所述,?????????????????????????, , , 2211 2222 112 2 1221 1 11 1n nn nnn nn nnaaaT aaaT aaaT??????????????????????????二、线性变换在给定基下的矩阵二、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设是线性空间中的线性变换,在中取定一个基,如果这个基在变换下的象为 nV nV n???,,, 21? TT 其中, 21 222 21 112 11??????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????????? A T nn??????,,,,,, 2121???上式??????????,,,,,,, 2121n nTTTT?????????记可表示为那末, 就称为线性变换在基下的矩阵. n,,,???? 21AT .)(, ),(, 1 唯一确定由基的象矩阵显然?? nTTA??, ),,,(),,,( ,,,, ,,,, 2121 21 21 需要满足什么条件呢变换那么下的象为在变换也就是说基的矩阵下在基是线性变换假设现在 T A T T TA nn n n?????????????????有设,, 1??? i ni inxV ?????)(?T)( 1? i ni ix T?????? ni iiTx 1)(????????????????x x xTTT n n?? 2 121 ))(, ),( ),((???,),,,( 2 121???????????????x x xA n n?????.),,,(),,,( 2 121 2 121?????????????????????????????????????????x x xAx x xT n nn n??????????即. , 为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个 AT T. 由上式唯一确定为矩阵的线性变换以TA