最短线段解中考题.doc

中考“最短线段”问题的重要应用高尚军省市安定区官营中学743011【摘要】数学的容博大精深,“最短线段”问题相关中考试题可谓是千变万化,这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”,利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。具备这一数学思想,中考涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的试题通过分类,可收到举一反三,事倍功半的效果。【关键词】中考试题;最短问题;应用举例一、问题探究在人教版八年级上册P42,有这样一个问题:在这个问题中,利用轴对称将折线转化为直线,再根据“两点之间线段最短”,“垂线段最短”等知识得到最短线段,这一类问题是当今中考的热点题型。二、(1)如图1,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。(2)如图2,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。(3)如图3,点P是∠MON的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使△PAB的周长最小。如图,点P,Q为∠MON的两点,分别在OM,ON上作点A,B,使四边形PAQB的周长最小。,点A是∠MON外的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。,点A是∠MON的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。三、中考试题举例(一)两点之间线段最短题型:直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?解:作点B关于直线CD的对称点B',连接AB',交CD于点M则AM+BM=AM+B'M=AB',水厂建在M点时,费用最小。如右图,在直角△AB'E中,AE=AC+CE=10+30=40,EB'=30,所以:AB'=50,总费用为:50×3=150万。,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值。解:(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小,连接AE/,交BD于点C,则AE/就是AC+CE的最小值,最小值是10.(3)如右图AE的长就是代数式(0≤x≤8)的最小值,在直角△AEF中,AF=5,EF=12根据勾股定理:AE/=、OB相交,在两条公路的中间有一个油库,设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站,,请你设计一个方案,把两个加油站设在何处,可使运油车从油库出发,经过一个加油站,再到另一个加油站,:这是一个实际问题,我们需要把它转化为数学问题,经过分析,我们知道此题是求运油车所走路程最短,OA与OB相交,点P在∠AOB部,通常我们会想到轴对称,分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,C、D两点就是使运油车所走路程最短,而建加油站的地点,那么是不是最短的呢?:分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,则C、、D两点的点,则由三角形的三边关系,可知在C、:在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短,请同学们思考弄明白。∠AOB=45°,P是∠AOB一点,PO=10,Q、P分别是OA、OB上的动点,求△、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,交OA、OB于点Q,R,连接OP1,OP2,则OP=OP1=OP2=10,且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为即在AC上作一点P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B',连接B'E,交AC于点P,则B'E=PB'+PE=PB+PE,B'E的长就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中,EF=1,B'F=3,根据勾股定理得B',在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_