第1章 逆矩阵 分块矩阵 第3－4节.ppt

第三节逆矩阵 逆矩阵 1,, n A n n B AB B B A BA A E A ?? ??设是阶矩阵,若存在阶矩阵满足称是可逆矩阵称为的逆矩阵, 记为阶义阵阵 n 1: -1 , 1, a b ab ba b a ? ??这如同:设是两个实数,若则 。 A B 显然, 是与同阶的方阵。 逆矩阵, ( ) ( ) , A A ? ? ??? ? ??? B C A AB BA E AC CA E B BE B AC BA C EC C A 若是可逆矩阵则的逆矩阵是惟一的. 证明:设,都是可逆矩阵的逆矩阵,则, 可见的逆矩阵是惟一的。证毕定理 唯一 1 -1 ?? ? A A A A E 逆矩阵定理 1 1 1 1 1 1 1 (1) , , ( ) ; , ( ) A A A A A B A AB BA E B A B A A A ? ???? ????? ?? ?若可逆则也可逆且证若可逆,设其逆阵为,则按定义,也可逆,其逆阵就是, 则即 逆矩阵 1 1 1 1 1 -1 1 (2) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T T T T T T A A A A A E E A A AA E E A A A A A ? ?? ???? ??? ???证:若可逆则所以,也可逆,的逆阵是即 1 1 (2) , , ( ) ( ) ; TTT A A A A ? ??若可逆则也可逆且 逆矩阵 1 2 k , , , , k A A A ? : 若都可逆则它们的乘积推广到个矩阵也可逆,且 1 1 1 (3) , , , ( ) ; BAA AB B B A ? ???若可逆则也可逆且 1 1 1 1 1 2 2 1 ) . k k A A A A A A ? ????? ? ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) B A B A A B A BB A AEA AA E B AA B BEB BB E AB AB AB AB B A ? ? ??? ?? ?? ????? ?? ???? ????证(3): 若,都可逆,则所以,是可逆的,且 逆矩阵 11 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ), 0, 1, 2, , . 1 1 ( , , ) 11 1 1 ( , , ) 0 0 0 0 0 0 naa n i n nna A diag a a a i n B diag a a A B B A E A A B diag a aa ?? ???? ?? ? ???