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空间曲线空间曲线曲率挠率和曲率挠率和 公式公式定义: 空间曲线在点的曲率为其中为点及其邻近点间的弧长, 为曲线在点和的切向量的夹角。曲率刻画了曲线的弯曲程度,刻画了曲线偏离切线程度。( ) C p 1p s??? 0 ( ) lim s k ss ?????? pp 1p空间曲线空间曲线曲率计算公式( 曲率计算公式( 自然参数) 自然参数) ???? 0 0 2 2 2 2 2 | 1| | | | | | | | | | | | | | | | | lim 1lim | | | | | | ( ) | |, ( ) ( ) ( ) | | | | s s MM MM MM s s s s MM MM s MM MMrs MM k s r r r r r r r r k s r r r ? ?? ????? ??? ??? ??? ??????? ???? ??????? ???? ???? ????????????? ??????????????????????????, ,,, ,, ,,( s+ s )-(s), 一般参数下空间曲线一般参数下空间曲线曲率计算公式曲率计算公式 2 2 2 2 2 222 , ,, 3 , ,, 3 ,,1 dr dt dt r r dt ds ds d r dt dr d t r dt ds dt ds dt d t r r ds ds dt r r r r ds r r dtkdsrr ? ?? ?? ?? ???? ?????? ???, ,,,() ()() , ,, 3, r r kr ??例: 空间曲线: r = r (s)为直线的充要条件是曲率 k(s )=0 .证明若为直线 r = s a + b,其中 a和b都是常向量,并且| a | = 1 ,则 k(s )= ; 反之, 若 k(s )=0, 则于是 r = s a + b . 所以该曲线是直线. | ( ) | 0 r s ???0r????| ( ) | 0 r s ???对于空间曲线,曲线不仅弯曲(曲线偏离切线程度由曲率表示)而且还要扭转(偏离密切平面,否则为平面曲线),所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量-挠率。(有大小又有方向)我们用副法向量的转动速度来刻画曲线的扭转程度。现在设曲线上一点的自然参数为,另一邻近点的自然参数为,在两点作曲线的副法向量和,此两个副法向量的夹角是由第一节命题知扭转程度大小为几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度( ) C 1P 1, P P sP s s ??( ) s??? 0 lim ss ????????( ) C ( ) s s ???(( || || k s k s ?? ??????? ?????? ?????????? ?????? ?????? ?????? ???? ?? ? ??) () ),由于密切平面把空间分成上下两部分,对扭转程度要考虑付法向量向上还是向下即有方向,即有下面的定义 rsr ? ???? ??? ?? ?? ?? k() 下面考虑扭转方向,因所以定义:曲线在点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度。, ( ) s ? ???? ????????????? ?? ?当和异向, ,当和同向。( ) CP空间曲线的伏雷内公式空间曲线的伏雷内公式( ) ( ) ( ) ( ) k s k s s s ? ??