方腔顶盖驱动流动.doc

问题描述方腔顶盖驱动流动如图1所示的一个简化两维方腔(高,宽都等于L),部充满水分。上表面为移动墙,非维化速度为u/u0=1。其他三面为固定墙。试求方腔水分流动状态。u=1,v=0u=0,v=0 u=0,v=0u=0,v=0图1常微分方程理论只能求解极少一类常微分方程;实际中给定的问题不一定是解析表达式,而是函数表,、离散格式数值解法:求解所有的常微分方程计算解函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b处的近似值节点间距为步长,通常采用等距节点,即取hi=h(常数)。步进式:根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值,一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。欧拉方法几何意义截断误差:实际上,y(xn)»yn,yn也有误差,它对yn+1的误差也有影响,见下图。但这里不考虑此误差的影响,仅考虑方法或公式本身带来的误差,因此称为方法误差或截断误差。局部截断误差的分析:由于假设yn=y(xn),即yn准确,因此分析局部截断误差时将y(xn+1)和yn+1都用点xn上的信息来表示,工具:Taylor展开。在假设yn=y(xn),即第n步计算是精确的前提下,考虑公式或方法本身带来的误差:Rn=y(xn+1)-yn+1,:隐式欧拉公式xn+1点向后差商近似导数推导如下:几何意义设已知曲线上一点Pn(xn,yn),过该点作弦线,斜率为(xn+1,yn+1)点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小,可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。比较显式公式和隐式公式及其局部截断误差显式公式隐式公式中点欧拉公式中心差商近似导数控制方程