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第十九章多元函数积分学　典型习题解答与提示.doc

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第十九章多元函数积分学基础典型****题解答与提示1.(1); (2)。
:利用。
3.(1)小于零; (2)零; (3)大于零; (4)大于零。
4.(1)利用估值不等式易于发现,当在边界时,函数取得最小值和最大值,已知,故,即,,所以;
(2)提示,,,
故。
5.(1)0; (2)0; (3)。1.(1); (2)9; (3); (4)0。
2.(1);
(2);
(3)令,
,
令,则,
;
(4)

;
(5)

。
3.
。
4.(1);
(2);
(3);5
(4)区域D用不等式组表示
, ,
所以;
(5)提示:区域D用不等式组表示
, ,
故原式;
(6)区域D用不等式组表示
, ,
其中,
因此。

(1); (2);
(3); (4)。
6.(1);
(2); (3)。
7.(1)

;
(2);
(3)化为极坐标形式, ,
注意到,则;
(4)变换成极坐标, ,
;
(5)变换成极坐标, ,
;
(6)变换成极坐标, ,
。1.(1)两个曲面的交线
在面的投影曲线,就是区域D的边界曲线,因此,可以从上面两个方程中消去
而得到,即。
所以立体体积可以看作两个有同底的曲顶柱体体积之差,一个是以抛物柱面
为顶的曲顶柱体,一个是以椭圆抛物面为顶的曲顶柱体,
所以
;
(2)所求体积V是以区域D的圆为底,以为顶的曲顶柱体体积,即

;
(3)所求体积V是以区域D的圆为底,以旋转抛物面
为顶的曲顶柱体的体积,即

;
(4)所求体积V是以区域D的圆与圆所围平面区域为底,以旋转抛物面为顶的曲顶柱体体积,即

。
2.(1)因为,所以的面积A为(设)
,
,
,
故重心为;
(2)D的面积(设)
,
根据对称性,有,故所求重心为;
(3)设密度函数(为比例常数)则D的质量M为
,

,根据对称性,,故重心坐标为。
(4)设,则的面积A为
(设)
,由于D是关于直线对称的,故,

故重心为;
(5)取坐标系如图19-11,设面密度为,由于重心落在圆心上,
图 19-11****题 19-3 中 2(5) 示意
所以
即有
,所以。1.(1); (2); (3)6; (4);
(5)设扇形中圆弧在轴上的端点为B,另一个为A,圆心为原点O,

;
(6)
。
2.(1);
(2)为,,为,
;
(3);
(4)该段直线方程为,,
;
(5)矩形四边方程依次为
为,; 为,;
为,; 为,。

。
3.(1);
(2);
(3);
(4);
(5)设B在轴上的投影为A,,,所包围的区域为D,
取
又因为

,
所以。
4.(1);
(2)。
5.(1)积分与路径无关,原式;
(2)积分与路径无关,原式;
(3)积分与路径无关,原式。1.(1)D [ x ^ 3 * y – y ^ 3 * x , x ]

D [ x ^ 3 * y – y ^ 3 * x , y ]
(2)D [ ( 1 + x * y ) ^ y , x ]

D [ ( 1 + x * y ) ^ y , y ]

2.(1)D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , x , x ]

D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , y , y ]

D [ x ^ 4 + y ^ 4 – 4 x ^ 2 * y ^ 2 , x , y ]

(2)D [ y ^ x , x , x ]

D [ y ^ x , y , y ]

D [ y ^ x , x , y ]

3.(1)Integrate [ x * y ^ ( 1 / 2 ) , { x , 0 , 1 } , { y , x ^ 2 , x ^ ( 1 / 2 ) } ]

(2)Integrate [ x ^ 2 / y ^ 2 , { x , 1 , 2 } , { y , 1 / x , x } ]

(3)Integrate [ x ^ 2 + y ^ 2 – x , { y , 0 ,

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第十三章函数、极限与连续　典型习题解答与提示

第十一章数列与数学归纳法　典型习题解答与提示

第六章平面向量和复数　典型习题解答与提示

第八章直线典型习题解答与提示

第五章反三角函数与简单的三角方程典型习题解答与提示

第二章幂函数、指数函数、对数函数典型习题解答与提示

第二十四章线性规划初步　典型习题解答与提示

第二十六章常微分方程　典型习题解答与提示

第三章任意角的三角函数典型习题解答与提示

第十七章定积分的应用　典型习题解答与提示

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