圆形有界磁场问题的分类及解析.doc

圆形有界磁场问题的分类及解析1、对心飞入问题【例1】电视机的显像管中,电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后,进入一圆形匀强磁场区,如图1所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O,半径为r。当不加磁场时,电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘,需要加磁场,使电子束偏转一已知角度θ,此时磁场的磁感应强度B应为多少?解析:如图2所示,电子在磁场中沿圆弧ab运动,圆心为C,半径为R。可证三角形△CaO≌△CbO,则∠CbO=90°,电子离开磁场时速度的反向延长线经过O点。由几何关系可知tan=又有eU=mv2evB=m三式联立解B=tan点评:粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场,必沿半径方向飞出磁场。2、圆心出发问题【例2】一匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面,在xOy平面上,磁场分布在以O点为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开始运动,初速度为v,方向沿x轴正方向。后来粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为30°,P到O的距离为L,如图3所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。解析:如图4所示,粒子在磁场中轨迹的圆心C必在y轴上,且P点在磁场区之外。粒子从A点离开磁场区,设轨迹半径为r。则L=r+=3r又qvB=m可求得B=磁场区域的半径R=2rcos30°=r=L点评:画轨迹时可先画一个完整的圆,然后分析粒子从圆周上哪一点离开,速度方向才会与题意相符,只要找到了离场点,问题就能解决了。3、最长时间(最大偏角)问题【例3】如图5所示,在真空中半径r=×10-2m的圆形区域内,有磁感应强度B=,方向垂直纸面向里的匀强磁场,一束带正电的粒子以初速度v0=×106m/s,从磁场边界直径ab的a端沿各个方向射入磁场,且初速方向都垂直于磁场方向。若该束粒子的比荷=×108C/kg,不计粒子重力。求粒子在磁场中运动的最长时间。解析:如图6所示,由qv0B=m得R==×10-2m>r要使粒子在磁场中运动的时间最长,应使粒子在磁场中运动的圆弧最长,即所对应的弦最长。则以磁场圆直径为弦时,粒子运动的时间最长。设该弦对应的圆心角为2α,而T=,则最长运动时间tmax=•T=又sinα==,故tmax=×10-8s。点评:粒子穿过圆形磁场时,以磁场圆直径为弦时,粒子运动时间最长,偏转角最大。4、最小半径问题【例4】如图7所示,一带电质点,质量为m,电荷量为q,以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。解析:质点在磁场区中的轨迹弧MN是圆周。由qvB=m得轨迹半径R=在通过M,N两点的不同的圆周中,最小的一个是以MN连线为直径的圆周。故所求的圆形磁场区域的最小半径为,r=MN=R=,所求磁场区域如图8中实线圆所示。点评:粒子穿过圆形磁场时,若轨迹是确定的,则以轨迹圆弧对应的弦为直径时,磁场圆最小。5、会聚一点问题【例5】如图9所示x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场,在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m,电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒。发射时,这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。已知重力加速度大小为g。 (1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域,并从坐标原点O沿y轴负方向离开,求电场强度和磁感应强度的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域,并说明理由。(3)若这束带电微粒初速度变为2v,那么它们与x轴相交的区域又在哪里?并说明理由。解析:(1)粒子平行于x轴从C点进入磁场,则可得E=,方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后,做圆周运动并从坐标原点O沿y轴负方向离开,则轨迹半径r=R由qvB=m得B=,方向垂直纸面向外。(2)如图10所示,从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动,圆心位于其正下方的Q点,微粒从M点离开磁场。可证明四边形PO′MQ是菱形,则M点就是坐标原点,故这束带电微粒都通过坐标原点O。(3)带电微粒在y轴右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动。靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处,靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以,这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0。点评:一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场,若带电粒子的轨