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文档分类:高等教育

多面体欧拉定理的发现.doc


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多面体欧拉定理的发现.doc
文档介绍:
多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现,证明与完善,及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(JohannBernoulli,1667-1748年)的精心指导.有许多关于欧拉的传说。比如,欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来,算到第50位数字,两人相差一个单位,欧拉为了确定究竟谁对,用心算进行全部运算,最后把错误找了出来。 欧拉创作文章的速度极快,通常上一本书还没有印刷完,新的手稿就写好了,导致他的写作顺序与出版顺序常常相反,让读者们很郁闷。而且,收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集,这本全集编了将近100年,终于在上个世纪90年代基本完成,没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿,使得这本全集至今仍未完成。欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系.V-EF被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π(1736年),i(1777年),e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),∑(1755年),f(x)(1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授.1735年,欧拉解决了一个天文学的难题(计算彗星轨道),这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了.然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁.据说是因为操劳过度,也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。正文多面体欧拉公式的背后是一门新的几何学,这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑图形尺寸大小,这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”(位置几何学),如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学.有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2(式中V表示多面体的顶点数,E表示棱数,F表示面数)”,其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它.欧拉在1750年独立地发现了这个公式,并于1752年发表了它.由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现,所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式.下面给出对该定理的证明.方法一【拓扑法(1)】对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。证明:(1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。(2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。(3)对于这个平面图形,进行三角形分割, 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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  • 上传人ogthpsa
  • 文件大小195 KB
  • 时间2020-08-07
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