数值分析报告讲义――线性方程组解法.doc

数值分析讲义线性方程组的解法§§(Jacobi)迭代法§-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法§§§§§§§§§3 作业讲评3 §§:、电路分析、热传导和振动、:线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法.(a)直接法:对于给定的方程组,在没有舍入误差的假设下,,.(b)迭代法:基于一定的递推格式,,此外,,诱人.§(AX=b)1基本思想:与解f(x)=0的不动点迭代相类似,将AX=b改写为X=BX+f的形式,建立雅可比方法的迭代格式:Xk+1=BX(k)+f,其中,,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparsematrices):(a)如何建立迭代格式?(b)向量序列{Xk}是否收敛以及收敛条件?3例题分析:考虑解方程组(1)其准确解为X*={1,,}.建立与式(1)相等价的形式:(2)据此建立迭代公式:(3)取迭代初值,:设方程组AX=b,通过分离变量的过程建立Jocobi迭代公式,即由此我们可以得到Jacobi迭代公式:[Jacobi迭代公式的算法]1:,(aij),(bj),(x1),:执行k==1直到n为止.;执行i=1直到n为止.;输出k,(xi).另外,=b,其中,A=(aij)n为非奇异阵,X=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)T将系数阵A分解为:A=U+D+L,U为上三角矩阵,D为对角矩阵,=b可改写为(U+D+L)X=bX=D-1b-D-1(U+L)X由此可得矩阵形式的Jocobi迭代公式:Xk+1=BX(k)+f□§-塞德尔Gauss-Seidel迭代法注意到利用Jocobi迭代公式计算时,已经计算好的值,而Jocobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算,,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值,得到上式称为Gauss-=-(D+L)-1UX+(D+L)-1b,Xk+1=BX(k)+§:逐次超松弛迭代法(essiveOverRelaxationMethod,简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德尔迭代法,是G-:设方程组AX=b,其中,A=(aij)n为非奇异阵,X=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)(k),(1)相当于用高斯-,作与加权的平均,即(2)其中,(1)式代入(2)式,就得到解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式:(3)显然,当取ω=1时,式(3)就是高斯-:利用SOR方法解方程组(1)其准确解为X*={1,1,2}.建立与式(1)相等价的形式:(2)据此建立迭代公式:(3)利用SOR算法,取迭代初值,ω=,.