数的分类和概念.doc

数的分类和概念我们把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}等全体非负整数组成的数集合称为“自然数”。把{1,2,3,…,9,10}向前扩充得到正整数{1,2,3,…,9,10,11,…},把它反向扩充得到负整数{…,-11,-10,-9,…,-3,-2,-1},介于正整数和负整数中间的“0”为中性数;把它们合在一起,得到{…,-11,-10,-9,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,9,10,11,…},叫做整数。对整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算。整数,对加、减、乘运算组成了一个封闭的数集合,是数学古老分支“数论”研究的对象。著名的德国数学家高斯说:“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”。德国数学家、数学王子高斯(Gauss,1777——1855)除法运算,如7/11=0.…、11/7=1.…,不再是整数,也就是说整数对除法运算是不封闭的。为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的,就必须增加新的数,如7/11、11/7,为两个整数之比,称为可比数、分数,现在通称为有理数。   把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理,形成最古老的一门数学——算术。有理数集合,对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合,看起来似乎已很完备。2500多年前,不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。公元前5世纪,当时的毕达哥拉斯学派很重视整数,想用它说明一切,“数是万物之本”成了他们的哲学观。毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯在研究1和2的比例中项x时,由1/x=x/2,得到代数方程x2=2                                         (1)在(1)中引入的x,代表我们暂时还不知道一个数,称为未知数。对(1)求解,得到x=。显然,1<x<2,不是整数;经证明,不能表成两个整数之比,也不是有理数;这就是后来称为“无理数”的数。无理数的发现,对以整数为基础的毕氏哲学,是一次致命的打击,数学史上把这件事称为“第一次数学危机”。在之后,又发现了很多无理数,圆周率π就是其中最重要的一个。15世纪意大利著名画家达·芬奇把它称之为“无理之数”。现在,人们把有理数和无理数合并在一起,称为“实数”。把方程(1)中2换成-2时,得到x2=-2                                         (2)由此得到两个解:x1=和x2=-,它们还是(2)的解吗?如果认为不是,(2)就没有解,解方程如同走进了死胡同。为解决这一问题,数学家不得不再次扩大数的范围,引入符号“”表示“-1的平方根”,即i =,称为虚数;再把实数a、b和虚数结合起来,组成z=形式的数,称为“复数”。在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,让人感到有