第十四章思考与练习.docx

14思考与练****什么叫张量?张量有什么性质?答:张量:由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合,称为张量,需要用空间坐标系中的三个矢量,即9个分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐标系中分量Z间可以用一定的线性关系来换算。基本性质:1) 张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数/(©),这些函数值与坐标轴无关,它不随坐标而改变,这样的函数,叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。2) 张量可以叠加和分解儿个同阶张量各对应的分量Z和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量Z差定义为零张量。3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量若张量具有性质卩厂P",就叫对称张量;若张量具有性质且当i二j时对PU工PJi应的分量为0,则叫反对称张量;如果张量 ,就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值如果以主轴为坐标轴,则两个下角标不同的分量均为零,只留下两个下角标相同的三个分量,叫作主值。如何表示任意斜微分面上的应力?2页空白没用的,请掠过阅读吧哈,这2页空白没用的,请掠过阅读吧哈,请掠过阅读吧,哈哈哈空白没用的,请掠过阅读吧哈这1页空白没用的,请掠过阅读吧哈空白没用的,请掠过阅读吧,这1页空白没用的,请掠过阅读吧,空白没用的,请掠过阅读吧哈这1页空白没用的,请掠过阅读吧哈空白没用的,请掠过阅读吧,这1页空白没用的,请掠过阅读吧,图14-1任意斜切微分面上的应力答:若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知,则借助静力平衡条件,该点任意方向上的应力分量可以确定。如图14-1所示,设过Q点任一斜切面的法线N与三个坐标轴的方向余弦为1,m,n,l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)o若斜微分面ABC的面积为dF,微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz,则各微分面Z间的关系为dFx二ldF;dFy=mdF;dFz=ndF乂设斜微分面ABC上的全应力为S,它在三坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz,由静力平衡条件工“=°,得:S’"-6d巴-rvxdFv-rzxdFz=0整理得Sy=t^I+aym+rzyn>SZ=rA7/+ry^4-((14-6)(i,j=x,),‘z)显然,全应力S2=s;+S;+S;斜微分面上的正应力”为全应力S在法线N方向的投影,它等于S*,»,Sz在N方向上的投影Z和,即(T=SJ+Sym+S:n=<ja/2+6亦+%用+2(%加+鼻呦+厂』〃)斜切微分面上的切应力为(14-7)(14-8)所以,已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量,可以求出过该点任意方向微分面上的应力,也就是说,这9个应力分量可以全面表示该点应力状况,亦即可以确定该点的应力状态。应力张量不变量如何表达?答:应力张量的三个不变量为<7|=(Tj+ +(T-</9=一| 9+b•*>CT3+b3b])>丿3=(j\cr2(j3具中人、厶、厶为应力张量第一、第二、第三不变量。应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么?答:应力:在外力的作用下,变形体内各质点就会产生相互作用的力,称为内力。单位面积上的内力称为应力,可采用截面法进行分析应力球张量:也称静水应力状态,其任何方向都是主方向,且主应力相同,均为平均应力。特点:在任何切平面上都没有切应力,所以不能使物体产生形状变化,而只能产生体积变化,即不能使物体产生塑性变形。应力偏张量:是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。特点:应力偏张量只使物体产生形状变化,而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。平面应力状态和纯切应力状态有何特点?答:平而应力状态的特点为:变形体内齐质点与某坐标轴垂直的平而上没有应力。纯切应力状态:等效应力有何特点?写出其数学表达式。答:等效应力的特点:等效应力不能在特定微分平面上表示岀来,但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分,因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。其数学表达式如下:等效应力在主轴坐标系中定义为J(C7|-<72)2+(6_5)'+(6_")2在任意坐标系屮定义为已知受力物体内一点的应力张量为<505080、5j=500-75&0-75-30丿(MPa),试求外法线方向余弦为l=m=l/2,n=X/2的斜切面上的全应力、正应力和切应力。解:设全应力为S,sx,Sy,s<分别为s在三轴中的分量,Sy=t^I+(Jym+r:yn'Sz=Txzl+Tyzm+^zn_则有:=50x—+50x—+,v=50xl