标准偏差与相对标准偏差公式.doc

标准偏差出自 MBA智库百科() 数学表达式: S—标准偏差(%)n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20—30个i-物料中某成分得各次测量值,1~n;标准偏差得使用方法六个计算标准偏差得公式[1]标准偏差得理论计算公式设对真值为X得某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……,则有σ1=li−X σ2= l2 −X ……σn=ln −X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为(1) 由于真值X都就是不可知得,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ得常用估计—贝塞尔公式由于真值就是不可知得,在实际应用中,我们常用n次测量得算术平均值来代表真值。理论上也证明,随着测量次数得增多,算术平均值最接近真值, 当时,算术平均值就就是真值。于就是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)Vi来代替真差σ,即设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V得关系为将上式代入式(1)有(2) 式(2)就就是著名得贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。由于当时,,可见贝塞尔公式与σ得定义式(1)就是完全一致得. 应该指出,在n有限时,。因此,我们称式(2)为标准偏差σ得常用估计。为了强调这一点,我们将σ得估计值用“S”表示。于就是, 将式(2)改写为(2’) 在求S时, 为免去求算术平均值得麻烦,经数学推导(过程从略)有于就是,式(2’)可写为(2”) 按式(2")求S时,只需求出各测得值得平方与与各测得值之与得平方艺,即可。标准偏差σ得无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2就是总体方差σ2得无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布, (2')在n有限时,S并不就是总体标准偏差σ得无偏估计,也就就是说S与σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布得正态总体,总体标准偏差σ得无偏估计值为(3) 令则即S1与S仅相差一个系数Kσ,Kσ就是与样本个数测量次数有关得一个系数,Kσ值见表. 计算Kσ时用到Γ(n +1)=nΓ(n) Γ(1)=1由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')与式(2’)之间得差异可略而不计。在n=30~50时, 〈10时, 由于Kσ值得影响已不可忽略,宜用式(3'),。标准偏差得最大似然估计将σ得定义式(1)中得真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到(4) 式(4)适用于n〉50时得情况,当n>50时,n与(n-1)对计算结果得影响就很小了. 2、5标准偏差σ得极差估计由于以上几个标准偏差得计算公式计算量较大, 不宜现场采用,而极差估计得方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用得特点。极差用"R"表示。所谓极差就就是从正态总体中随机抽取得n个样本测得值中得最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布, 则 R= lmax−lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差得计算公式为(5) S3称为标准偏差σ得无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关得无偏极差系数,其值见表2由表2知,当n≤15时,,因此, 标准偏差σ更粗略得估计值为(5')还可以瞧出,当200≤n≤1000时,因而又有(5") 显然,不需查表利用式(5')与(5”)了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其她公式得计算结果进行校核。应指出,式(5)得准确度比用其她公式得准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5)不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组得极差R1、,再由各组极差求出极差平均值。极差平均值与总体标准偏差得关系为需指出,此时d2大小要用每组得数据个数n而不就是用数据总数N(=nK)去查表2。再则,分组时一定要按测得值得先后顺序排列,不能打乱或颠倒。标准偏差σ得平均误差估计平均误差得定义为误差理论给出(A) 可以证明与得关系为(证明从略) 于就是(B)由式(A)与式(B)得从而有式(6)就就是佩特斯(C、A、F、Peters、1856)公式。用该公式估计δ值,由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式得准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差得应用实例[1]对标称值Ra= 0、160 <math >μm<math>得一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1、45,1、65,1