第五章等参数单元.doc

第五章平面等参(数)单元有限元法求解过程中产生计算误差的地方主要有:。,在运算过程中引起舍入误差。解决方法:将网格剖分加密,使单元假定位移场更加逼近真实位移场,可以提高有限元法计算精度。但是,增加单元数将使总刚的阶数提高,这不仅增加贮存容量和求解机时,而且将增加舍入误差。另一种方法是提高每个单元的计算精度,采用高精度位移模式的单元。高精度的单元位移模式需要满足:,故应采用曲边/面单元;,以更好地逼近真实位移场。构造同时满足上面两个要求的单元模式的方法:先在局部坐标系中简单几何形状(正方形、三角形、立方体)的单元按高阶插值多项式来构造形状函数,形成局部坐标的单元位移函数。然后通过坐标变换,将简单几何形状的母单元在总体坐标系中映射成实际网格剖分的曲边/面单元。虽然变换成的总体坐标单元位移函数比较复杂,但可以采用数值积分法计算单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵。如果在位移模式和坐标变换式中采用相同的插值函数,这种单元称为等参(数)单元。如果坐标变换节点数多于位移模式差值函数的节点数,则称为超参单元。反之,称为次参单元。4节点四边形单元离散化例题B=[(36-1)+1]×2=72单元16的最大节点差值是36-1。4节点四边形单元与3节点三边形单元混用例题利用结构对称性,取其研究平面问题每个节点有2个自由度。3节点三边形单元的自由度是6,4节点四边形单元的自由度是8。总刚的维数是。最大半带宽B=[(8-1)+1]×2=16。[母单元(基本)]:在其形心处设置局部坐标系轴//12边和43边轴//14边和23边4个节点的局部坐标(,)分别是。实际单元(子单元)设在总体坐标系中有任意四边形单元,其四个节点的局部码编号为1,2,3,4。以对边中点连线作为局部坐标的和轴,其交点为原点,以对边相应的等分点连线作为和的坐标线。并使四边的方程分别为,。:其中待定系数α1,α2,α3,α4可由4个节点位移,,和来确定。则上式可写成(5-1)式中形函数(5-2)上式(5-2)的形函数用通式表示为 (5-3)式中和是节点的局部坐标值。注:形函数的性质(1) (2)(3)平面4节点四边形单元的四个形函数都是坐标双线性函数。在单元内部,位移是坐标的二次函数;在单元的边界上位移是坐标的线性函数。(4)可以根据形函数的性质来直接构造形函数因为形函数在节点2,3,4处的值等于零,故当选择过节点2、3的直线方程:1-ξ=0过节点3、4的直线方程:1-η=0则能够满足形函数在节点2,3,4处的值等于零,所以设式中A是待定系数。再由在节点1处等于1,即∴带回原式,得同理可以确定形函数、和。