数列中的不等关系的研究.doc

专题:数列中的不等关系的研究一、问题提出问题1:等差数列中,已知,,:已知各项均为正数的等比数列,若,:(1)等比数列的公比,第17项的平方等于第24项,使得不等式恒成立的正整数的取值范围是__________(2)若,且,:在等差数列中,已知,、思考探究探究1:已知数列满足,,.(1)若,,,求的取值范围;(2)若是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.(1)由条件得且,[3,6].……3分(2),且,,,,解得.……7分时,.所以,的最小值为8,时,的公比为.……9分(3),,.①当时,,所以,即.……12分②当时,,符合条件.……14分③当时,,所以,,又,,的公差的取值范围为.……18分探究2:设是数列的前n项和,对任意总有.(1)求数列的通项公式;(2)试比较与的大小;(3)当时,:设各项均为非负数的数列的为前项和(,).(1)求实数的值;(2)求数列的通项公式(用表示).(3)证明:当()时,.解:(1)当时,,所以或,(2分)若,则,取得,即,这与矛盾;所以,取得,又,故,所以,(4分)(2)记①,则②,①②得,又数列各项均为非负数,且,所以,(6分)则,即,当或时,也适合,所以;(10分)(3)因为,所以,又()则(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)所以.(16分)探究4:设是各项均为非零实数的数列的前项和,给出如下两个命题:命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数.(1)若是的充分条件,求的值;(2)对于(1)中的与,问是否为的必要条件,请说明理由;(3)若为真命题,对于给定的正整数()和正数M,数列满足条件,:(1)设的公差为,当 时原等式可化为所以,即对于恒成立,所以当时,也成立(2)当时假设命题成立,即“若①对于任意的恒成立,则为等差数列”.当时,显然成立当时,②,由①-②得,,即③.当时,,即、、成等差数列,当时,④,,即为的必要条件.(3)由,可设,,则,所以,所以,,所以的最大值为三、真题链接1.(2013年江苏高考题)在正项等比数列中,,.(2011年江苏高考题)设,其中成公比为的等比数列,成公差为1的等差数列,:由题意:,,而的最小值分别为1,2,3;。四、反思提升五、,,且=2,:由递推关系得,累乘得,则,得,所以,当且仅当时,.(1)若,求的取值范围;(2)若是公比为的等比数列,,若,,求的取值范围;(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,:(1)由条件得且,[3,6].(2)由,且,得,所以又,,,,,即.①若,则由得,所以②若,,所以综上,的取值范围为.(3),且,得即当时,,当时,由得所以所以,即,,时,,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.(2)求证:数列是等比数列;(2)若不等的正整数成等差数列,试比较与的大小;(3)若不等的正整数成等比数列,试比较与的大小.(1)证:因为对任意正整数,总成立,令,得,则令,得(1),从而(2),(2)-(1)得:,综上得,所以数列是等比数列(2)正整数成等差数列,则,所以,则①当时,②当时,③当时,(3)正整数成等比数列,则,则,所以,当,即时,②当,即时,③当,即时,4.(1)各项均为非负的任意等差数列满足,则的取值范围是.【解析1】由题意得,令,则且,从而点在如图所示的四分之一个圆上,故当直线过点时,,当直线与四分之一个圆相切于点时,,从而。【解析2】令,则因为,所以,故。解析3:由于已知条件及所求结论是对称的,所以根据对称性原理,当时,,当或时,,故所求的结果为。(2)已知是等差数列,对于给定的正整数,,则的最大值为____________. ,数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)令,为数列的前项和,求;(并项求和法)(3)若使不等式成立的自然数恰好有4个,:(1)由即,为首项是,公比为2的等比数列;(2),由得,,原式变为令则时,由解得,,,使