求函数极限的方法和技巧.doc

求函数极限的法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部容,因此掌握好极限的求解法是学****数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在法的正确灵活运用面,对读者有所助益。一、求函数极限的法1、运用极限的定义:例:用极限定义证明:证:由,取,则当时,就有由函数极限定义有:。2、利用极限的四则运算性质:若 (I)(II)(III)若B≠0则:(IV)(c为常数)上述性质对于例:求解:=3、约去零因式(此法适用于)例:求解:原式=====4、通分法(适用于型)例:求解:原式=== 5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量和有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数f(x)、g(x)满足:(I)(II)(M为正整数)则:例:求解:由而故原式=6、利用无穷小量和无穷大量的关系。(I)若:则(II)若:且f(x)≠0则例:求下列极限①②解:由故 由故=7、等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量,且有:,存在,则也存在,且有=例:求极限解: =注:在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形:例:求下列函数极限9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。例:求下列函数的极限(2)10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:m、n、k、l为正整数。例:求下列函数极限①、n②解:①令t=则当时,于是原式=②由于=令:则===11、利用函数极限的存在性定理定理:设在的某空心邻域恒有g(x)≤f(x)≤h(x),且有:,则极限存在,且有例:求(a>1,n>0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n>0时有: 及又当x时,k有及=012、用左右极限和极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形)。定理:函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有:==A例:设=求及由13、罗比塔法则(适用于未定式极限)定理:若此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导。使用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。4、当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外法。例:求下列函数的极限①②解:①令f(x)=,g(x)=l,由于但从而运用罗比塔法则两次后得到②由故此例属于型,由罗比塔法则有:14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,使用泰勒公式比使用罗比塔法则更为便,下列为常用的展开式:1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式,当有于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件:(I)f在闭区间上连续;(II)f在(a,b)可导则在(a,b)至少存在一点,使