蒙特卡罗方法在积分计算中的应用课件.ppt

第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用蒙特卡罗方法求积分重要抽样俄国***赌和分裂半解析方法系统抽样分层抽样蒙特卡罗方法求积分蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下:任何一个积分,都可看作某个随机变量的期望值,因此,可以用这个随机变量的平均值来近似它。设欲求积分 其中,P=P(x1,x2,…,xs)表示s维空间的点,Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数f(P),令 则 即θ是随机变量g(P)的数学期望,P的分布密度函数为f(P)。 现从f(P)中抽取随机向量P的N个样本:Pi,i=1,2,…,N,则 就是θ的近似估计。重要抽样偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数f1(P),令 则有 现从f1(P)中抽样N个点:Pi,i=1,2,…,N,则 就是θ的又一个无偏估计。重要抽样和零方差技巧 要使最小,就是使泛函I[f1]极小。 利用变分原理,可以得到最优的f1(P)为特别地,当g(P)≥0时,有 这时 即g1的方差为零。实际上,这时有 不管那种情况,我们称从最优分布fl(P)的抽样为重要抽样,称函数|g(P)|为重要函数。俄国***赌和分裂分裂(多抽样) 设整数n≥1,令 则 于是计算θ的问题,可化为计算n个θi的和来得到,而每个gi(P)为原来θ的估计g(P)的1/n,这就是分裂技巧。俄国***赌(少抽样) 令0<q<1, 则 于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值, ζ的特性为: 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ,这就是俄国***赌。重要区域和不重要区域我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区域,或感兴趣的区域;称对积分θ贡献小的区域为不重要区域,或不感兴趣的区域。考虑二重积分 令R是V2上x的积分区域,表为R=R1+R2,其中R1是重要区域,R2是不重要区域,两者互不相交。又命Q为V2上相应于y的积分区域。则通常蒙特卡罗方法,由f(x,y)抽样(x,y)的步骤是:从fl(x)中抽取xi,再由f2(y|xi)中抽样确定yi,然后用 作为θ的一个无偏估计。 现在,改变抽样方案如下:当x∈R1时,定义一个整数n(xi)≥1,对一个xi,抽取 n(xi)个yij,j=1,2,…,n(xi)。以平均值 代替上述θ估计式中的g(yi,xi)。