信息论和编码第六章.ppt

第六章循环码主要内容1234循环码的码多项式循环码编码CRC码RS码BCH码65乘法电路一、=(0000)…(1111)代入方程C=mG可得16个码字。经分析,将16个码字归结为4个循环环第一循环第二循环第三循环第四循环(1011000)(1110100)(0000000)(1111111)(0110001)(1101001)(1100010)(1010011)(1000101)(0100111)(0001011)(1001110)(0010110)(0011101)(0101100)(0111010)循环码的多项式描述GF(2)上n维矢量空间Vn中的任一矢量V=(vn-1,…,v1,v0)viGF(2)可与GF(2)域上多项式V(x)一一对应如下:V=(vn-1,…,v1,v0)V(x)=vn-1xn-1+…+v1x+v0 多项式的各系数就是矢量各元素的值,x的幂次指示对应元素所在位置。码空间是矢量空间Vn的一个子空间,因此n重矢量不一定是码矢量,n次多项式不一定是码多项式。位于码空间的矢量叫码矢,对应的多项式为码多项式。我们约定:以下所说的码字、码组、码矢和码多项式等术语具有相同的物理意义,只是描述角度和表达方式不同而已。码矢C0=(cn-1,…,c1,c0)右循环一位C1=(cn-2,…,c1,-1,)也是码矢。它们各自对应的码多项式是:C0(x)=cn-1xn--2xn-2+…+c1x+c0C1(x)=cn-2xn--3xn-2+…+-1比较两者,可知C1(x)=xC0(x),mod(xn+1) (4-2)以此类推,循环码循环移2位、移3位、移n-1位后仍然应是码字,于是得到下面一系列等式:C2(x)=xC1(x)=x2C0(x), mod(xn+1)C3(x)=xC2(x)=x3C0(x), mod(xn+1)::Cn-1(x)=xCn-2(x)=xn-1C0(x),mod(xn+1)由码空间的封闭性,可知码多项式C0(x),…,Cn-1(x)的线性组合仍应是码多项式:C(x)=an-1xn-1C0(x)+an-2xn-2C0(x)+…+a1xC0(x)+a0C0(x)=(an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0)C0(x)=A(x)C0(x) mod(xn+1) (4-3)C0(x)是码多项式,A(x)是n-1次多项式,但不一定是码多项式。式(4-3)给出的结论是:码多项式与任意n-1次多项式作运算后,结果一定回落到码空间。二、循环码编码