直线系圆系方程.doc

直线系、圆系方程————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点(,)的直线系方程:(A,B不同时为0).:本题是过定点直线方程问题,可用定点直线系法. 解析:设所求直线的方程为(其中不全为零), 则整理有, ∵直线l与圆相切,∴圆心到直线l的距离等于半径1,故, 整理,得,即(这时),或. :对求过定点(,)的直线方程问题,常用过定点直线法,即设直线方程为:,注意的此方程表示的是过点的所有直线(即直线系),应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论,: 过点作圆的切线l,求切线l的方程. 解:设所求直线l的方程为(其中不全为零), 则整理有, ∵直线l与圆相切,∴圆心到直线l的距离等于半径1,故, 整理,得,即(这时),或. 、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线:(不同时为0)与:(不同时为0)交点的直线系方程为:(,为参数).例2求过直线:与直线::本题是过两直线交点的直线系问题,:设所求直线方程为:,当直线过原点时,则=0,则=-1,此时所求直线方程为:;当所求直线不过原点时,令=0,解得=,令=0,解得=,由题意得,=,解得,此时,所求直线方程为:.综上所述,所求直线方程为:、求直线系方程过定点问题例3证明:直线(是参数且∈R)过定点,:本题是证明直线系过定点问题,:(恒等式法)直线方程化为:,∵∈R,∴,解得,,,∴直线(是参数且∈R)过定点(1,1).(特殊直线法)取=0,=1得,,,联立解得,,,将(1,1)代入检验满足方程,∴直线(是参数且∈R)过定点(1,1).点评:对证明直线系过定点问题,常用方法有恒等式法和特殊直线法,恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式,利用参数属于R,则恒等式个系数为0,列出关于的方程组,通过解方程组,求出定点坐标;特殊直线法,去两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过接着两条特殊直线的交点坐标,并代入原直线系方程检验,、常见的圆系方程有如下几种:1、以为圆心的同心圆系方程: 与圆+++F=0同心的圆系方程为:+++=02、过直线++C=0与圆+++F=0交点的圆系方程为:+++F+(++C)=0(R)3、过两圆:+=0,:+=0交点的圆系方程为:++(+)=0(≠-1,此圆系不含:+=0)特别地,当=-1时,,表示公共弦方程;两圆相切时,:为了避免利用上述圆系方程时讨论圆,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:二、圆系方程在解题中的应用:1、利用圆系方程求圆的方程:例求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。例1、求经过两圆+3--2=0和+2++1=:方法3:由题可设所求圆的方程为