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非常好的讲义----二次函数图像与性质————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 二次函数图像及性质一、二次函数的定义 一般地,形如(为常数,)的函数称为的二次函数,其中为自变量,为因变量,、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 注意:和一元二次方程类似,二次项系数,而、、二次函数的图象 (1)决定抛物线的开口方向 当时,抛物线开口向上;当时,. 决定抛物线的开口大小:越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大. 温馨提示:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若相等,则开口及形状相同,若互为相反数,则形状相同、开口相反. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴:) 当时,抛物线的对称轴为轴; 当、同号时,对称轴在轴的左侧; 当、异号时,对称轴在轴的右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置(抛物线与轴的交点坐标为) 当时,抛物线与轴的交点为原点; 当时,交点在轴的正半轴; 当时,:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,⑴一次函数(),该点为直线与轴交点.⑵二次函数(),该点为抛物线与轴交点,当时,该点为抛物线顶点.⑶⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性.⑵根据抛物线的对称轴判断的大小.⑶根据抛物线与轴的交点,判断的大小.⑷根据抛物线与轴有无交点,判断的正负性.⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于的等式.⑹根据抛物线的顶点,、:⑴抛物线的顶点是坐标原点(0,0),对称轴是(轴).⑵函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点;的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,()的性质⑴开口方向:⑵对称轴:(或)⑶顶点坐标:(或)⑷最值:时有最小值(或)(如图1);时有最大值(或)(如图2);⑸单调性(单调性的概念无需掌握):二次函数()的变化情况(增减性)①如图1所示,当时,对称轴左侧,随着的增大而减小,在对称轴的右侧,随的增大而增大;②如图2所示,当时,对称轴左侧,y随着x的增大而增大,在对称轴的右侧,随的增大而减小;⑹与坐标轴的交点:①与轴的交点:(0,C);②与轴的交点:使方程(或)、二次函数