模具CAD与CAM第四章 图形变换.ppt

4. 图形变换
二维图形的几何变换
◆平移变换
◆比例变换
◆对称变换
◆旋转变换
三维图形的几何变换
◆平移变换
◆比例变换
◆对称变换
◆旋转变换
二维图形的几何变换
二维图形的基本几何变换主要包括:
◆平移变换
◆比例变换
◆对称变换
◆旋转变换

参考书:
《计算机辅助设计基础及应用》清华大学出版社崔洪斌
《CAD/CAM原理与应用》机械工业出版社蔡颖
二维图形的几何变换
图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的,图形的几何变换是点的几何变换。
图形几何变换的基本原理是用矩阵描述一个图形,用变换矩阵表示平移、旋转、缩小和放大等功能,而通过这几种矩阵的运算,即可改变图形的位置、方向或大小。因此图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T。
图形变换的基本原理
二维图形的几何变换
图形是点的集合
在二维平面中,任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成的。对于一个图形作几何变换,实际上就是对一系列点进行变换。
点的表示
在二维平面内,一个点通常用它的两个坐标(x,y)来表示,写成矩阵形式则为:
 [x y] (行向量) 或( 列向量)
二维图形的几何变换
变换矩阵
若[A]、[B]、[T]都是矩阵,且[A][T]=[B],则[T]被称为变换矩阵。变换矩阵为点的变换提供了工具。
设变换矩阵:
二维图形的几何变换
点的变换
将两维空间中任意点的坐标[x y]与变换矩阵[T]相乘,变换后点的坐标记作[x’ y’]。则:
即:{
新点的位置取决于变量a、b、c、d的值。
二维图形的几何变换
◆比例变换
比例变换是指原有图形在x、y两个方向上进行放大或缩小的变换。如图4-1所示,在对应的变换矩阵中,b=c=0,所以,比例变换矩阵为:
(a ≠ 0,d ≠ 0) (4-1)
一个点的比例变换为:
[x’ y’]=[x y] = [ax dy] (4-2)
二维图形的几何变换
图4-1 图形的比例变换
二维图形的几何变换
其中,a、d分别为沿x、y方向上的比例因子,且a、d > 0。
如果 a = d = 1,变换为恒等变换,即变换后点的坐标不变。
如果 a = d ≠ 1,变换为等比例变换,其中:
若 a = d > 1,变换为等比例放大;
若 a = d < 1,变换为等比例缩小。
如果 a ≠ d,变换后的图形会产生
畸变,如图4-2所示。
二维图形的几何变换
图4-2 利用比例变换使图形发生变形
a)变换前 b)沿x向拉伸 c)沿y向拉伸