2005年全国高中数学联合竞赛(四川初赛).doc

2005年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
9月17日上午8:30-10:30
一、选择题(本题满分30分,每小题5分)
本题共有6小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中有且只有一个是正确。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得5分;不选、错选或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
,满足:成等差数列,成等比数列。令,则下列关于数列的说法正确的是
(A)为等差数列(B)为等比数列
(C)的每一项为奇数(D)的每一项为偶数
解:由题可知,,,∴
∴,即,∴为等差数列,故选A
△中,分别是角所对边的边长,若,则的值是
(A)1 (B) (C) (D)2
解:由得,
即,由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知,
且,从而,∴
∴

(A)1 (B)2 (C) (D)
解:
令,则,最小值为,故选D
,顶点为,是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段为直径的两圆一定
(A)相交(B)内切(C)外切(D)相离
解:设双曲线的另一个焦点为,线段的中点为,在△中,为的中点,为的中点,从而,从而以线段为直径的两圆一定内切。
,若“方程满足,且方程至少有一根”,就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
解:,由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为时,有9个满足题意的“漂亮方程
”,当一根为时,有3 个满足题意的“漂亮方程”。共有12个,故选C。
,是到的映射,且满足,记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同,就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为
(A)144 (B)192 (C)216 (D)576
解:对于的一个排列,可以9个映射满足,而共有个排列,所以满足条件的数表共有张,故选C。
二、填空题(本题满分30分,每小题5分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
。
解:,从而当时取最大值
当时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于
,则满足不等式的的取值范围是。
解:由,可得,解得
,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条。
解:据题意新的立体图形中共有24个顶点,每两点连一条线,共,其中所有的棱都在原立方体的表面,有36条
原立方体的每个面上有8个点,除去棱以外,还可以连条,6个面共120条都在原立方体的表面,除此之外的直线都在原立方体的内部。
,其中满足,则的最小值为。
解:由,得
又
△内接于半径为的⊙,且,为底边BC上的高,则的最大值为。
解:如图,设,则
,
=
其中
所以的最大值为
,集合中的数由小到大组成数列:,则 131 。
解:∵为整数且,∴最小取2,此时符合条件的数有
,可在中取,符合条件有的数有
同理,时,符合条件有的数有
时,符合条件有的数有
时,符合条件有的数有
时,符合条件有的数有
因此,是中的最小值,即
三、解答题(本题满分80分,