椭圆、双曲线、抛物线练习题.docx

【例】以抛物线y28、.3x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x.、3y0的双曲线方程为 .抛物线y83x的焦点F为(2•.3,0),设双曲线方程为x23y2(2,3)2x2【例】双曲线-42 29,双曲线方程为-—19 32y牙=1(b€N)的两个焦点Fi、F2,P为双曲线上一点,|OP|V5,|PFi|,|FiF2|,|PF2|b2成等比数列,则b2= 。解:设Fi(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PFi|2+|PF2|2=2(|POf+|FiOf)v2(52+c2),即|PFi|2+|PF2|2<50+2c2,又T|PFi|2+|PF2|2=(|PFi|—|PF2|)2+2|PFi||PF2|,依双曲线定义,有|PFi|-|PF2|=4,I7依已知条件有|PFi||PF2|=|FiF2|2=4c2 •••16+8c2<50+2c2,「.c2<i—,3I7 5又Tc2=4+b2<—,—b2<—,•b2=i。3 3【例】当m取何值时,直线I:yxm与椭圆9x2i6y2i44相切,相交,相离?yxm ①解: 9x216y2144…②①代入②得9x2 16(xm)222144化简得25x32mx16m 144 0222(32m) 425(16m 144) 576m 14400当0,即m—时,直线l与椭圆相切;当0,即—m—时,直线与椭圆相交;当0,即m—或m—时,直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x为轴的对称点Mi和M2,且■ |MiM2|=4^0,试求椭圆的方程。3解:|MF|max=a+c,|MF|min=a—c,则(a+c)(a—c)=a°—c=2 2•-b2=4,设椭圆方程为笃仝1a2 4设过M1和M2的直线方程为y=—X+m将②代入①得:(4+a2)X2—2a2mx+a2m2—4a2=o设M1(x1,y”、M2(X2,y2),M1M2的中点为(xo,yo),2am2,yo=—X0+m=a小 1则X0= (X1+X2)=2 42代入y=x,得_am44ma2由于 a2>4,|M1M2|=2.(X1 X2)24mTV,•m=0,4X1X24-103X1+X2=0, X1X2=丄,又a2 ,代入X1+X2,xiX2可解a2=5,故所求椭圆方程为:【例】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP丄OQ,IPQF-10,求椭圆方程。2解:设椭圆方程为22mx+ny=1(m>0,n>0),P(X1,y“,Q(X2,y2)(m+n)x2+2nx+n—1=0,A=4n2—4(m+n)(n—1)>0,即m+n—mn>0,由OP丄OQ,所以2(n 1)X1X2+y1y2=0,即2X1X2+(X1+X2)+仁0,•m2n+1=0,•••m+n=2 ①又24(mnmn)mn由①、②式得(_1°)2,将m+n=2,代入得2_1 _3十_3 _1m=—,n=^或m=—,n—2222n=一4故椭圆方程为222+iy2=1或ix2+12y2=1。【例】已知圆C1的方程为x22y120T,2椭圆C2的方程为令a21ab0,b2C2的离心率为2,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程。设A(x,,y1).B(x2,y2)由圆心为(2,1).为x2 4,y1 2解得b2 8. 故所有椭圆方程- 1两式相减,得2222X1 X2 y1 y2n2b2b22202b b(X1X2)(X1X2)2(y1y2)(w y2)0,又X1X24.%(X2)..即yx3将yX3代入2X2b22每1,得3x2b212x182b :由e子,彳时訂心,『. 24b 72 <2^(XiX2) 723【例】过点(1,0)的直线丨与中心在原点,焦点在•f2x轴上且离心率为—2的椭圆C相交于A、B21两点,直线y=2x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线I与椭圆C的方程。解法一:由e=£,,从而a2=2b2,c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(X1,2yi),B(x2,y2)在椭圆上。则X12+2y12=2b2,X22+2y22=2b2,两式相减得,(x/—X22)+2(y12—y22)=0,y1 y2X1 X2X1 X22(y1 y2)设AB中点