55定积分在几何中的应用.ppt

一、定积分的微元法
二、平面图形的面积
三、体积
四、平面曲线的弧长
一、定积分的微元法
定积分的应用很广,仅介绍它在几何方面和物理
方面的一些应用。首先说明一种运用定积分解决实际
问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分
析方法——微元法(或元素法).
本章第一节,在将具体问题中所求的量(如曲边
梯形的面积,变速直线运动的路程)表达成定积分:
时,总是把所求量看作是与变量的变化区间
相联系的整体量。当把区间划分为若干小
区间时,整体量就相应地分为若干部分量,
而整体量等于各部分量之和,这一性质称为所求量
对于区间具有可加性.
划分区间后,在各部分区间上,求出部分量的近
似表达式,由可加性,总量的近似值可以
表达成和式(由于点任意选取时,
和式极限有确定的值,常取为区间的左端点),
从而这个和式的极限就是所求量的精确值,于是由
定积分的定义,总量可用定积分
来表达.
一般地,如果某一实际问题中所求量满足以下条件:
是与变量的变化区间有关的量,且
对于该区间具有可加性,所求量就可用定积分
:
(1)确定积分变量,并求出相应的积分区间
(2)在区间上任取一小区间,并
在该小区间上找出所求量的微元
(3)写出所求量的积分表达式,
然后计算它的值.
这里通常称为所求量的微分(或元
素),这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定
积分表达式的方法,通常称为微元法(或元素法).
二、平面图形的面积

1)在上,由连续曲线、
及两条直线、所围成的封闭图形
的面积(图5-7)
图5-7
例4 求由两条曲线与所围成的
封闭图形的面积(图5-8).
解∵两条曲线的交点坐标是
∴
0 1
(1,1)
图5-8
2)在上(图5-9),由连续区
线、及两条直线、所围成
的封闭图形的面积
图5-8
例5 求由曲线与直线所
围成的封闭图形的面积(如图5-10).
解∵曲线与直线的交点坐标是
所求的面积
-
图5-10