一个平面几何三圆问题的思考.doc

一个平面几何三圆问题的思考
姓名:周力班级:冶金0805 学号:40821144
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问题来源于机械制图课程中的一次发现,具体叙述如下:三个同一平面上的圆两两相交于六点,证明三条公共弦相交于一点,如图所示。
对问题行进思考,寻求可能的解决方法:1、尝试直接用平面几何的方法证明;2、建立直角坐标系,运用解析几何的知识求解问题;3、结合空间立体几何,构造简单模型说明问题。
利用不同方法证明:
1、平面几何的方法:由于笔者知识水平有限,未能给出适当的证明。
2、解析几何的方法:以其中两圆的圆心为x轴建立直角坐标系,则两圆方程分别为(x-a)2+y2=r12和(x+b)2+y2=r22,其中a+b<r1+r2,第三圆为(x-c)2+(y-d)2=r32并且能够与之前两元相交。由方程求得前两圆的公共弦为x=r22+a2-r12-b22(a+b),第一圆与第三圆的公共弦为2a-c2x-a-c-2dy+d2=r32-r12,第二圆与第三圆的公共弦为2-b-c2x+b-c-2dy+d2=r32-r22。将前两圆公共弦方程与第一三两圆公共弦方程联立解得y=b+cr12+a-cr22-a-br32-aba+b-aca-c+bcb+c+d2(a+b)2d(a+b),同样地,将将前两圆公共弦方程与第二三两圆公共弦方程联立解得y=
b+cr12+a-cr22-a-br32-aba+b-aca-c+bcb+c+d2(a+b)2d(a+b)。所以,三条公共弦交与一点。
3、立体几何的方法:把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述,我们称三个球的球心确定的平面为NK面。显然,这个NK面在三个球上的截面就是题目的这三个大圆,而NK面上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在NK面上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在NK面上的投影共点。注意到三个球交于两点,这两点关于NK面对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到NK面上,得证。
综上所述,通过对问题的思考,探究其解决方法。我们知道,平面几何的问题可以转化为其他几何问题求解, 解析几何的方法,通过纯计算解决问题,其思路易于理解,但计算过程复杂;而立体几何的方法,将问题简单化,却不易理解,需要对问题的本质有清楚地认识才能够求出。