求轨迹方程的常用方法例题及变式.docx

求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法, 根据所满足的几何条件, 将几何条件{M|P(M)}直接翻译成x,y的形式f(x,y)0,然后进行等价变换,化简 f(x,y)0,要注意轨迹方程的纯粹性和完备性,即曲线上没有坐标不满足方程的点, 也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性);反之,适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN,分别交x,y轴于点M,N,求线段MN中点P的轨迹方程。解:设P点坐标为P(x,y),由中点坐标公式及M,N在轴上得M(0,2y),N(2x,0)(x,yR)AMANkAMkAN032y2x2 023 1(x1),化简得4x6y13 0(x1)当x1时,M(0,3),N(2,0),此时MN的中点P(1,|)它也满足方程4x6y13 0,所以中点P的轨迹方程为4x6y13 0。变式1N(1,0)的距离的2倍。已知动点M(x,y)到直线l:x4的距离是它到点(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点。若A是PB的中点,求直线m的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要, 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题, 包括用定义法求轨迹方程。22例2动圆M过定点P(4,0),且与圆C:xy8x0相切,求动圆圆心M的轨迹方程。解:根据题意||MC||MP||4,说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值,故点M的轨迹是双曲线。2a4a2,c4b c2a2 1222故动圆圆心M的轨迹方程为-y14 12变式2在厶ABC中,BC24,AC,AB上的两条中线长度之和为39,:以线段BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标2系,如图1,M为重心,则有|BM||CM39 •••M点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,其中c12,a13.•b •所求△ABC的重心的轨迹方程为- » 1(y 0)169 25题型三相关点法此法的特点是动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x',y')的坐标,可先用x,y来表示x',y',再代入曲线C的方程f(x,y)0,即得点M的轨迹方程。22例3如图,从双曲线xy1上一点Q引直线xy2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程分析:从题意看动点P的相关点是Q,Q在双曲线上运动,所以本题适合用相关点法。解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x^yj,则点N的坐标为(2xx「2yy1)N在直线xy2上,2xx12yy1 2…①又PQ垂直于直线xy2,x x-iy—吐1,即xyy1X1 0…②31彳x-y122••③13 彳xy122Xi由①②解得yi又点Q在双曲线x2y2 1上,22Xiyi1…④③代入④,得动点P的轨迹方程为2x22y22x2y12变式3已知△ABC的顶点B(3,0),C(1,0),顶点A在抛物线yx上运动,求△:设G(x,y),A(Xo,yo),由重心公式,得31x0x3x°3x2,①又y。y§,y。3y・②•••A(xo,yo)在抛物线yx2上,•••yo2xo将①,②代入③,得3y(3x2)2(y0),即所求曲线方程是y3x24x43(y0).