几何图形的计数.ppt

第九讲几何图形的计数在数学竞赛试题和中考中,经常出现一些几何计数问题,,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,!AB、例1数线段时,可以线段的左端点进行分类,逐类分别数出线段条数后相加AC、AD、AE、AF共5条BC、BD、BE、BF共4条CD、CE、CF共3条DE、DF共2条EF共1条合计有5+4+3+2+1=15(条)(一)×(6+1)÷2=21(条)注意:这里涉及到数学中很重要的思想方法——分类的思想方法。在几何计数中怎样分类?本例所介绍的是方法(1):按照包含同一图形进行分类;(2)先划分出基本图形,?如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=.AB、BC、CD、DE、EF;AC、BD、CE、DF;AD、BE、CF;AE、BF;AF共16条(二)数角例2BACDEO数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边以OA为一条边的角有:∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个同样还有:∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个∠COD,∠COE共2个∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10(个)(三)数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形。上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是“对应法”,这也是计数中常用的方法,这种方法实际上是数学的另一思想——转化思想的运用使用对应法时,总是在原图形中(有时需添加辅助线)找出它的某一部分作对应图形本题的解决,既有分类法又有对应法BACDEOA1B1C1D1E14×(4+1)÷2=104个基本角的和=90°;两个相邻基本角组成的3个角的和=90°+45°=135°;三个相邻基本角组成的2个角的和=135°;4个相邻基本角组成的1个角=90°,所以所有角的和=90°+135°+135°+90°=450°.BACDEO顶点为O,且一边在AB上的三角形有3×4÷2=6(个);一边在BC上的三角形有4×5÷2=10(个);一边在AC上的三角形有3×4÷2=6(个),再加△ABC,(四)数长方形、平行四边形和正方形AM与EB对应着长方形EPNB,,共6个长方形AD边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形,所以共有3×6=18个长方形ABCDEFGHQPMN图中共有---------个长方形一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个线段AM与AE对应着长方形AMPE,AM与AG对应着长方形AMQG,AM与AB对应着长方形AMNB,AM与EG对应着长方形EPQG,例4横边上有8×(8+1)÷2=36条线段,纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段,所以共有36×28=(雨露招生试题)如图,图中平行四边形的个数为思考:能否像例4那样数平行四边形?可以将图形分割成几部分,使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好思考:原图中平行四边形的个数是否等于60?假设分为如下图所示的两块,那么每块中的平行四边形的个数都是思考:如最右侧的图形中也有30个平行四边形,那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90?不是90,还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形,,原图形中平行四边形的个数是90-18=:在使用分类计数法时,一定要注意是否有遗漏或重复计数的!例5如左、中、右三图,各包含多少个正方形?为便于叙述,我们设一个小正方形的边长为1,那么左图中边长为1的正方形的个数是3×2=6边长为2的正方形的个数是2×1=2所以左图中共有正方形3×2+2×1=8(个)中图中边长为1的正方形的个数是4×3=12边长为2的正方形的个数是3×2=6边长为3的正方形的个数