八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题(2).docx

.八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球文:付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型,本文最开始源自付雨楼老师分享的模型,教研QQ群(群号:545423319) 成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)ACbCbaCbBCabAAaBBaBA图1图2图3图4方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2a2b2c2,即2Ra2b2c2,求出R例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C),则其外接球的表面积是9()若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为解:(1)Va2h16,a2,4R2a2a2h2441624,S24,选C;(2)4R23339,S4R29(3)在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是。36解:引理:正三棱锥的对棱互垂直。证明如下:如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角形ABC的中心, SH 平面ABC, SH AB,AC BC,AD BD, CD AB, AB 平面SCD,AB SC,同理:BC SA,AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图( 3)-2, AM MN,SB//MN,SA CAM SB, AC SB, SB 平面SAC,D H EB.(3)题-,SBSABCSA,,,SA平面SBC,SASC,S故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直,M(2R)2(23)2(23)2(23)236,即4R236,AC正三棱锥SABC外接球的表面积是36NB(3)题-2(4)在四面体SABC中,SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球的表面积为(D)、4、3,那么它的外接球的表面积是(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为解析:(4)在ABC中,os1207,BC7,ABC的外接球直径为2rBC727sinBAC3,32(2R)2(2r)2SA2(27)2440,S40,选D333(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,cR),则ab12bc8,abc24,a3,b4,c2,(2R)2a2b2c229,S4R229,ac6(6)(2)2a2b2c23,R23,R3R42PV4R34333,3382AC类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面):如图 5,PA 平面ABC解题步骤:.POCA O1 :将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:O1为ABC的外心,所以OO1平面ABC,算出小圆O1的半径O1Dr(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得abc2r),OO11PA;sinAsinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;②R2r2